lequangnghia

Giải các phương trình :

1. $sin^{3}x+cos^{3}x+sin^{4}x=2$

$\Rightarrow sin^{4}x+sin^{3}x-2+cosx^{3}x=0$

$\Rightarrow (sinx-1)(sin^{3}x+2sin^{2}x+2sinx+2)=cosx(sinx+1)(sinx-1)$

TH1: sinx=1 giải ra x

TH2: $\Rightarrow sin^{3}x+2sin^{2}x+2sinx+2=cosx(sinx+1)$

Dễ thấy sinx khác 1

$\Rightarrow \frac{sin^{3}x+2sin^{2}x+2sinx+2}{sinx+1}=cos$

$\Rightarrow (\frac{sin^{3}x+2sin^{2}x}{sinx+1}+2)^{2}+sin^{2}x=1$$\Rightarrow (\frac{sin^{3}x+2sin^{2}x}{sinx+1})^{2}+4.\frac{sin^{3}x+2sin^{2}x}{sinx+1}+3+sinx^{2}=0$

Dễ thấy vế trái lớn hơn không ( Bình phương hiển nhiên không âm, còn $\frac{sin^{3}x+2sin^{2}x}{sinx+1}=sin^{2}\frac{(sinx+2)}{sinx+1}\geq 0$

Vậy phương trình chỉ có nghiệm duy nhất sinx=1

2. $\frac{cos^{3}x-sin^{3}x}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}=2cos2x$

$\Leftrightarrow \frac{(cosx-sinx)(1+sinxcosx)}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)$

Th1: sinx=cosx giải ra x

TH2: $1+sinxcosx=2(sinx+cosx)(\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx})$

$\Rightarrow (1+sinxcosx)^{2}=2(1+2sinxcosx)(sinx+cosx+2\sqrt{sinxcosx})$

Đặt $sinx+cosx=t\Rightarrow sinxcosx=\frac{t^{2}-1}{2}$

Ta thu được phương trình 1 ẩn theo t. giải tìm t

 tam giác IGH là tam giác vuông

Ta có $\widehat{MAN}=\widehat{DBC}=45^{o}$

$\Rightarrow AIMB$ nội tiếp

Mà $\widehat{ABM}=90^{o}$

$\widehat{AIM}=90^{o}$

Vậy MI vuông AN

Chứng minh tương tự NG vuông AM

Dễ thấy AIHM nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{IHN}=\widehat{NAM}=\widehat{GHM}=45^{o}$

$\Rightarrow \widehat{GHI}=90^{o}$

$\Rightarrow \Delta GHI$ vuông

Cho tam giác ABC có B(-4;-5) và 2 đường cao là 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0
Lập phương trình các cạnh và đường cao còn lại.

Thay B vào 2 phương trình đường cao dễ thấy không thỏa. Vậy giả sữ phương trình đường cao hạ từ A là $5x+3y-4=0$ và từ C là $3x+8y+13=0$

Gọi H là trực tâm thì H là giao của 2 đường cao hạ từ A và C. Tọa độ của H chính là nghiệm của hệ

$\left\{\begin{matrix} 5x+3y=4 & \\ 3x+8y=-13 & \end{matrix}\right.$

AH: $5x+3y-4=0$ nên phuong trình đường thẳng vuông góc AH có dạng: $3x-5y+m=0$

Tức BC có dạng $3x-5y+m=0$

B thuộc BC, thay tọa độ B vào phương trình ta tìm được $m=-13$ nên phương trình BC là : $3x-5y-13=0$

vậy C chính là nghiệm của: $\left\{\begin{matrix} 3x-5y=13 & \\ 3x+8y=-13 & \end{matrix}\right.$

Có C. có phương trình BH ta viết pt AC.

Dùng pt AC và AH ta giao lại suy ra tọa độ A. và kéo theo có phương trình AB

Chúc bạn học tốt