thang1308

b,

Đặt $f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)$

Do $f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên R.

Xét  $f(a)=bc(a-b)(a-c)$ 

       $f(b)=ac(b-a)(b-c)$

       $f(c)=ab(c-a)(c-b)$

suy ra $f(a).f(b).f(c)<0$. Mặt khác, $f(a)+f(b)>0$, $f(b)+f(c)>0$, $f(c)+f(a)>0$.

Do đó tồn tại 2 trong 3 số $f(a), f(b), f(c)$ trái giấu, giả sử là $f(a), f(b)$. Khi đó $f(a).f(b)<0$ suy ra pt $f(x)=0$ có No ..

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của tam giác thỏa $abc=3b+6c$.

Chứng minh $ \frac{3}{b+c-a}+ \frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\geq 4$

Bài này còn có một cách ngắn gọn hơn như sau:

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$, ta có

$VT=(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b})+2(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c})+3(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c})$

$\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=2(\frac{a}{3}+\frac{3}{a})\geq 4$ $($ $đpcm$ $)$

$m_{a}$ là khoảng cách từ M đến BC à bạn

$m_{a}$ chắc là độ dài trung tuyến từ $A$ đến cạnh $BC$ 

Đặt $P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}.$

      $Q=\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}.$

      $R=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}$.

Dễ thấy $P-R=0$ nên từ giả thiết suy ra $P=Q=R$.

Xét biểu thức $P+R-2Q=0$

     $\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+b^2-2c^2}{a+b}=0$

     $\Leftrightarrow \sum \frac{(a^2-c^2)+(b^2-c^2)}{a+b}=0$

     $\Leftrightarrow \sum (\frac{a^2-c^2}{a+b}-\frac{a^2-c^2}{b+c})=0$

     $\Leftrightarrow \;\sum \frac{(a^2-c^2)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0$ $\Rightarrow a^2=b^2=c^2$ (đpcm)

Do $a+b\leq 1\Rightarrow b\leq 1-a$. Khi đó 

$a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}+\frac{9}{4}\leq a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{1-a}+\frac{9}{4}=-\frac{(a^2+3)(2a-1)^2}{4a(1-a)}\leq 0$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$.