chidungdijiyeon

Mình là sinh viên năm nhất BKHCM, mình muốn dự thi olympic toán SV quá mà trường không có fanpage để trao đổi. 

Cho mình hỏi ôn thi thì về phần hàm số cần ôn như định lí Fermat, Rolle,Larange,... có ai có nhiều tài liệu, bài tập không ạ cho mình xin với, mình còn hoang mang về phần đó lắm. 

Các bài tập hay về ma trận, định thức cũng ít có bài giải nữa

Ai cho mình xin file với ạ

Tìm hàm số thỏa mãn:
i)
$
\lim\frac{{f}\left({x}\right)}{x}\mathrm{{=}}{1}
$
ii) $
{f}\left({{x}\mathrm{{+}}{y}}\right)\mathrm{{=}}{f}\left({x}\right)\mathrm{{+}}{f}\left({y}\right)\mathrm{{+}}{2}{x}^{2}\mathrm{{+}}{3}{xy}\mathrm{{+}}{2}{y}^{2}
$

Bài 122 ( PTNK-ĐHQG-TP.HCM):

$ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad \sum { { a }^{ 2 }=2\quad .Tìm\quad min\quad của\quad \quad  } \\ P=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } +\frac { 30(ab+bc+ca) }{ { (a+b+c) }^{ 2 } } $

Áp dụng BĐT sau: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

 

$P\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}}+\frac{30(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$

 

mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 \Rightarrow 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{2}((a+b+c)^{2}-2)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2+(a+b+c)^{2}}+\frac{15((a+b+c)^{2}-2)}{(a+b+c)^{2}}$

 

Tới đây đặt a+b+c=t chắc ổn rồi (mà không biết đúng sai nữa)

 

*Vẫn chỉ mới từng bước chập chững trong  toán học thôi, mong được ace chỉ giáo nhiều hơn     

làm đến đó thì dễ rồi chú bạn! Hiển nhiên ta có: xy+yz+zx\leq \frac{\left ( a+y+z \right )^{2}}{3}

ở mẫu số cộng các vế vào là $\sqrt{3}\left ( x+y+z \right )$ ta có điều phải chứng minh! 

kakaka, mơn bạn nhiều nha   

Cho đường thẳng (d): x-2y-2=0 và hai điểm A(0;1), B(3;4). Tìm tọa độ của điểm M trên d sao cho $2MA^{2}+MB^{2}$ nhỏ nhất

 

giúp dùm em bài này nha !! (toán học và tuổi trẻ)

em năm nay đang học lớp 10, thi violympic đến vòng 16 thì thấy bài này

Cho các số thực không âm a,b,c sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+(a+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+(a+b)^{3}}}$ $\geq 1$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=0

 

Tìm GTNN của A=$\frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b^{6}}{a^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}+b^{3}}$

 

Bài này dùng đạo hàm được hông ta!?     

Bài 1: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z=0 và x+1>0, y+1>0, z+4>0

 

Tìm GTLN của P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

 

Bài 2: Với x,y,z,t là các số dương.Tìm GTNN của biếu thức:

 

A=$\frac{x-t}{t+y}+\frac{t-y}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}$

 

Hai bài này có thể dùng đạo hàm để làm không vậy mn, ai chiếu cố kẻ hèn sĩ như tui đi !! Vẫn còn non nớt lắm     

Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm hai đường chép. M(4;5) thuộc (AB) và trung điểm E của CD thuộc (d): x+y-5=0. Viết phương trình (AB)

 

Gọi K là điểm đối xứng của M qua I

 

$\Rightarro \left\{\begin{matrix} x_{K} =2x_{I}-x_{M}& & \\ y_{K}=2y_{I}-y_{M} & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow K(-11;1))$

 

Ta có: E thuộc (d) $\Rightarrow E(x_{E};5-x_{E})$

 

$\Rightarrow \underset{EI}{\rightarrow}=(6-x_{E};x_{E}-3)$

 

$\underset{EK}{\rightarrow}=(11-x_{E};x_{E}-6)$

 

Mà EI vuông góc với EK $\Rightarrow \underset{EI}{\rightarrow}.\underset{EK}{\rightarrow}=0$

 

$\Leftrightarrow (6-x_{E})(11-x_{E})+(x_{E}-3)(x_{E}-6)=0 \Leftrightarrow 2x^{2}_{E}-26x_{E}+84=0$

J$\Rightarrow x_{E}=7$ hoặc $x_{E}=6$

 

Gọi J là điểm đối xứng của E qua I

 

$\Rightarrow J(5;6)$ hoặc J(6;5)

 

 (AB) qua J và M từ đó viết được phương trình

 

 

$\Rightarrow E(7;-2)$ hoặc E$(6;-1)$

 

Cho $\Delta ABC$ có $A(3;-7)$ trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ I(-2;0). Tìm tọa độ C,B biết C có hoành độ

 

Từ A vẽ đường kính AK suy ra I là trung điểm AK

 

Gọi J hình chiếu của I xuống BC suy ra JI vuông góc với BC

 

$\left\{\begin{matrix} AH song song JI & & \\ AI=IK & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow J$ là trung điểm HK $\Rightarrow JI=\frac{1}{2}AH \Rightarrow \underset{JI}{\rightarrow}=\frac{1}{2}\underset{AH}{\rightarrow}$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{J} -x_{I}=\frac{1}{2}(x_{H}-x_{A})& & \\ y_{J}-y_{I}=\frac{1}{2}(y_{H}-y_{A}) & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{J}=-2 & & \\ y_{J}=3 & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow J(-2;3)$

 

Ta có: $\underset{AI}{\rightarrow}=(-5;7) \Rightarrow AI = R=\sqrt{74}$

 

$\cdot \underset{JI}{\rightarrow}=(0;4)$ là VTCP của (JI) mà JI vuông góc với BC nên cũng là VTPT của (BC)

 

$\Rightarrow (BC): 0(x+2)+4(y-3)=0$

 

$\Rightarrow (BC): y-3=0$

 

Tọa độ hai điểm B, C thỏa hệ phương trình

 

$\left\{\begin{matrix} (x+2)^{2} + (y-0)^{2} =R^{2}=74\\ y=3 & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow (x+2)^{2}+9=74 \Rightarrow x=-2+\sqrt{65}$ hoặc$x=-2-\sqrt{65}$

 

Mà theo đề bài ta có C có hoành độ dương

 

$\Rightarrow C(-2+\sqrt{65};3)$ và B($B(-2-\sqrt{65};3)$

 

 

Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc và AD= 3BC, phương trình đường chéo(BD): x + 2y -6 = 0. $\Delta ABD$ trực tâm H (-3;2). Tìm tọa độ C, D. 

 

Gọi K là hình chiếu của H xuống BD

$\Rightarrow K (x_{K}; \frac{6 -x_{k}}{2})$

$\underset{HK}{\rightarrow}$ = ($(x_{K}+3;\frac{2-x_{K}}{2})$

Và vecto chỉ phương của BD là $\underset{a_{BD}}{\rightarrow}$=(-2;1) 

Vì HK vuông góc với BD $\underset{HK}{\rightarrow}.\underset{a_{BD}}{\rightarrow}=0$

$\Leftrightarrow -2(x_{K}+3) + \frac{2-x_{K}}{2}=0$

$\Rightarrow x_{K}=-2$ $\Rightarrow K (-2;4)$

Từ K kẻ KM song song với BH cắt BC tại M 

Ta có: BH song song với MK và BM=MC suy ra K là trung điểm HC

$\left\{\begin{matrix} x_{K}=\frac{x_{H}+ x_{C}}{2} & & \\ y_{K}=\frac{y_{H}+y_{C}}{2} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow C(-1;6))$

$\cdot \Delta MKC$ vuông cân tại M$\Rightarrow Sin45=\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{MC}{KC}$

$\Rightarrow MC=\frac{\sqrt{2}}{2}KC=\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\cdot \underset{KM}{\rightarrow}=(x_{M}+2;y_{M}-4)$

$\cdot \underset{CM}{\rightarrow}= (x_{M}+1;y_{M}-6)$

Mà KM = CM $\Rightarrow KM^{2}=CM^{2}$

$\Rightarrow (x_{M}+2)^{2}+(y_{M}-4)^{2}=(x_{M}+1)^{2}+(y_{M}-6)^{2}$

$\Leftrightarrow 2x_{M}+4y_{M}-17=0 (\Delta )$

Vì $M\in \Delta \Rightarrow M(x_{M};\frac{17-2x_{M}}{4})$

$\Rightarrow MC =\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\Leftrightarrow (-1-x_{M})^{2}+(6-\frac{17-2x_{M}}{4})^{2}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 20x^{2}_{M}+60x_{M}+25=0 \Leftrightarrow x_{M}=\frac{-1}{2}$ hay $x_{M}=\frac{-5}{2}$

Tới đây, ta lại kẻ KN vuông góc AD

$\cdot \Delta AKD$ vuông cân tại K $\Rightarrow KN=\frac{1}{2}KD \Rightarrow 2KN=AD$

$\cdot \Delta MBC$ vuông cân tại K $\Rightarrow KM=\frac{1}{2}BC \Rightarrow 2KM=BC$

Mà AD= 3BC $\Rightarrow KN= 3KM$

$\cdot$ Với $x_{M}=\frac{-1}{2}\Rightarrow M(\frac{-1}{2};\frac{9}{2})$

Mà $\Rightarrow \underset{KN}{\rightarrow}=3\underset{MK}{\rightarrow}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{N}-x_{K}=3(x_{K}-x_{M}) & & \\ y_{N}-y_{K}=3(y_{K}-y_{M}) & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{N}=\frac{-13}{2} & & \\ y_{N}=\frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow N(\frac{-13}{2};\frac{5}{2})$

Lại có: $\underset{ND}{\rightarrow}=3\underset{MC}{\rightarrow}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}-x_{N}=3(x_{C}-x_{M}) & & \\ y_{D}-y_{N}=3(y_{C}-y_{M}) & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{D}=-8 & & \\ y_{D}=22 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow D(-8;22)$

Tương tự với $x_{M}=\frac{-5}{2}$ cũng làm như trên rồi suy ra tọa độ của D

..............

Hông biết đúng không nữa, thấy sai sai sao sao á

 

Giải các hệ phương trình sau

Bài 1: 

 

 

$\left\{\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 91 & & \\ 4 x^{_{2}} + 3 y^{2} = 16x + 9y & & \end{matrix}\right.$

 

Bài 2: 

 

 

 

$\left\{\begin{matrix} 3x^{3} - y^{3} = \frac{1}{x + y} & & \\ x^{2} + y^{2} = 1 & & \end{matrix}\right.$

 

Bài 3: 

 

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \frac{8xy}{x+y} = 16& & \\ \frac{x^{2}}{8y} + \frac{2x}{3} = \sqrt{\frac{x^{2}}{3y} + \frac{x^{2}}{4}} - \frac{y}{2} & & \end{matrix}\right.$

 

(Đề thi đội tuyển HSG tỉnh Nghệ An 2012)

 

Bài 4: 

 

 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{2}} + \sqrt{\frac{x^{2} + xy + y^{2}}{3}} & & = x + y\\ x\sqrt{2xy + 5x + 3} = 4xy - 5x -3 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

Đang cố gắng chuẩn bị cho kì thi HSG 2 năm sau, đã lỡ dỡ một lần, đâu để có lần thứ hai, phải ráng mới được, vì yêu toán, và vì người con gái ấy

 

Mấy bài này mình thấy trong báo Toán học và tuổi trẻ, có mấy bài làm được, mấy bài không