Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng:
T= $\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{3}{5}$
- thanhmylam và Bui Thao thích
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 28-02-2016 - 21:46
Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng:
T= $\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{3}{5}$
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 20-02-2016 - 14:40
$2+x+x^{2}=y^{2} \Leftrightarrow 8+4x+4x^{2}=4y^{2} \Leftrightarrow (2x+1)^{2} +7 = (2y)^{2} \Leftrightarrow (2y-2x-1)(2y+2x+1)=7$ tới đây dễ rồi bạn tự làm nha
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 19-02-2016 - 19:34
Bài 84:
Cho x,y>0 thỏa mãn x,$x^{2}+y^{2}=1$.Tìm min và max của:
$P=x^{3}+y^{3}$
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 12-02-2016 - 07:53
Bài 18: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B, Tia Cx vuông góc với AB.Trên tia Cx lấy D và E sao cho $\frac{CE}{CB}=\frac{CA}{CD}=\sqrt{3}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H(H khác C). CMR: HC luôn đi qua một điểm cố định khi C chuyển động trên đoạn AB.Bài toán còn đúng không khi thay $\sqrt{3}$ bởi m cho trước(m>0)
Từ tỉ số suy ra góc ADC= góc EBC =60 độ
góc DAC = góc BEC = 30 độ.
Vì H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC nên BHC = BEC =30 độ
H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC nên DHC = DAC = 30 độ
Từ đó ta có BHC =DHC = 30 độ => B,D,H thẳng hằng
có AHD = 90 độ(góc nội tiếng chắn nửa đường tròn) nên BHA =90 độ
=> H thuộc đường tròn ĐK AB
Gọi giao điểm của Đường tròn ĐK AB và HC là K
Ta có KHB = CHB = BEC = 30 độ
suy ra sđ cung BK = 2.KHB =2.30=60 độ(không đổi)
mà đường tròn ĐK AB cũng không đổi nên K cố định => HC luôn qua điểm cố định là điểm K sao cho cung BK của đường tròn ĐK AB =60 độ.
Bài toán vẫn đúng khi thay căn(3) =m (m>0) vì khi đó ta cũng có các góc cố định và chứng minh tương tự như trên
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 12-02-2016 - 07:16
mình chưa hiểu chỗ "mà CI vuông góc với CD và I thuộc EF nên I là trực tâm tam giác MCO" !
Xin lỗi,mình nhầm.
Cần chứng minh KI vuông góc với OC(có c/m ở trên rồi nha),CI vuông góc với OK (do CH vuông góc AB)=> I là trực tâm của tam giác KCO
Rồi c/m OI vuông góc với CM (đường tròn(I),(O) cắt nhau tại C,D nên OI vuông góc CD);MI vuông góc với OC ( chứng minh như ở trên) => I là trực tâm tam giác MCO=> đpcm
Do vẽ M trùng K nên chứng minh dễ nhầm..
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 11-02-2016 - 15:38
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 11-02-2016 - 12:24
Bài 11:Cho đường tròn(O) đường kính AB=2R. Điểm C thuộc đường tròn(C không trùng với A và B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến à với (O).Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q,AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P.
a) Gọi K là điểm chính giữa cung AB(cung không chứa C).HỎi có thể xảy ra trường hợp 3 điểm Q,M,K thẳng hàng không?
b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O).
a) nếu Q,M,K thẳng hàng thì góc MQA = góc MQC (góc có đỉnh ngoài đường tròn,thế từng cung vào là ra )
=> QM là phân giác mà BM cũng là phân giác (M là trung điểm cung AC,tự chứng minh)
Nên AM cũng là phân giác => góc BAM = 45 độ => M là điểm chính giữa cung AB và cũng chính giữa AC nên C trùng B (trái với GT)
=> không thể xảy ra trường hợp Q,M,K thẳng hàng..
Chỗ nào sai nhắc mình nha
P/s : ai biết cách vẽ hình để đăng lên này cho dễ coi chỉ mình nha..
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 11-02-2016 - 12:01
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 11-02-2016 - 09:26
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O)(AB<AC). Vẽ (I) qua 2 điểm A và C cắt đoạn AB,BC tại M,N.Vẽ (J) qua 3 điểm B,M,N cắt (O) tại H.CMR: BH vuông góc với IH.
Áp dụng bài toán phụ đó vào làm bài này.
Dễ thấy t/giác BNM đồng dạng với tam giác BAC (tứ giác ACMN nội tiếp (I)) mà J là đường tròn nội tiếp tam giác BAC
=> BJ vuông góc với AC mà OI cũng vuông góc với AC ( đường tròn O,I cắt tại AC)
=> BJ//OI(1)
tương tự có O là đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC nên BO vuông góc với MN mà IJ cũng vuông góc với MN ( đường tròn I,J cắt tại M,N)
=>BO//IJ (2)
từ (1),(2) suy ra tứ giác IOBJ là hình bình hành
Gọi Z là giao điểm của Ọ và BI => Z là trung điểm của BI (2 đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà đường tròn O và J cắt nhau tại B,H nên OJ vuông góc với BH và OJ đi qua trung điểm của BH
Xét tam giác BHI có OJ đi qua Z là trung điểm của BI; đi qua trung điểm của BH nên OJ thuộc đường thẳng chứa đường trung bình của tam giác BHI
=> OJ//IH mà OJ vuông góc với BH => IH vuông góc với BH =>đpcm
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 11-02-2016 - 09:10
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O)(AB<AC). Vẽ (I) qua 2 điểm A và C cắt đoạn AB,BC tại M,N.Vẽ (J) qua 3 điểm B,M,N cắt (O) tại H.CMR: BH vuông góc với IH.
Để làm bài này thì theo mình là chứng minh bài toán phụ này : Cho tam giác ABC trên AB,AC lấy E,F sao cho t/giác AEF đồng dạng với t/giác ACB.O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chứng minh AO vuông góc với BC..
Thật vậy: Gọi K là giao điểm của đường tròn O với AO.
Vì t/giác AEF đồng dạng với t/giác ACB
=> góc AEF=góc ACB= sđ cung AF/2;
góc OAC= sđ cung KF/2
=> góc ACB+góc OAC=sđ cung AF/2 + sđ cung KF/2 =180/2 = 90 độ
=> AO vuông góc với BC
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 11-02-2016 - 08:10
Mình vẫn chưa hiểu lắm về bài 4 ý 2!
Chứng minh 2 tam giác có cùng một điểm là trực tâm và có 2 điểm cố định..trong bài này là tam giác KCO với MCO có cùng trực tâm là I mà C,O chung nên suy ra M trùng K =>đpcm
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 10-02-2016 - 18:19
Bài 4 chứng minh CO vuông góc với EF như nào vậy?
ta có góc IFC=ICF,DCB=DBC=>IFC+DCB=ICF+DBC=90 độ => CO vuông góc EF
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 10-02-2016 - 15:49
Bài 4: CHo (O) đường kính AB=2R.C là một điểm thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC ko cân tại C. Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE,HF vuông góc vs AC,BC.EF và AB cắt nhau tại K.Gọi D là giao của (O) với đường tròn đường kính CH,D khác C. CMR: KA.KB=KH^2 và giao điểm M của các đường thẳng CD và EF luôn thuộc 1 đường thẳng cố định
**KA.KB=$KH^{2}$:
Tam giác ABC nội tiếp nên góc ACB = 90 độ. mà HE,HF vuông góc với AC,AB nên HE//CB, HF//AC $\Rightarrow$ $\frac{KH}{KA}=\frac{KF}{KE};\frac{KB}{KH}=\frac{KF}{KE} (talet) \Rightarrow \frac{KH}{KA}=\frac{KB}{KH} \Rightarrow KH^{2}=KA.KB$
**Giao điểm M của các đường thẳng CD và EF luôn thuộc 1 đường thẳng cố định:
Gọi giao điểm của CH EF là I ,vì đường tròn I và O tiếp xúc ngoài tại C,D nên OI vuông góc CD mà CH vuông góc với OK , CH giao với EF tại I nên I là trực tâm của tam giác KCO..
Dễ dàng c/m được OC vuông góc với EF mà CI vuông góc với CD và I thuộc EF nên I là trực tâm tam giác MCO
từ đó suy ra M trùng K..vậy giao điểm M của các đường thẳng CD và EF luôn thuộc 1 đường thẳng cố định là AB
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 08-02-2016 - 18:55
Gửi bởi ngtrungkien019a trong 07-02-2016 - 21:35
48) Giả sử $x,y,z \ge 1$ và $\sum \frac{1}{x}=1$ . Chứng minh
$\sqrt{x+y+z} \ge \sum \sqrt{x-1}$
có sai ko bạn..cái đề ý
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học