ngtrungkien019a

$2(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=(\frac{a}{b}-1)^{2}+(\frac{b}{c}-1)^{2}+(\frac{c}{a}-1)^{2}+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}-3 \geq 0 \Rightarrow đpcm$

Ta có thể ''làm khó'' bài này lên như sau:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{ab+bc+ca}{2}$

 

$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}=\frac{a^{2}}{a^{3}+abc}=\frac{a}{a^{2}+bc}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{2abc}=\frac{ab+bc+ca}{2}.$ . em mới tham gia forum có gì chỉ bảo thêm..

Bài 27 Cho a,b,c >0 và a+b+c =3 Chứng minh: $\frac{1}{a+3b} + \frac{1}{b+3c} + \frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{a+3} + \frac{1}{b+3} + \frac{1}{c+3}$