Repi

1. Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x^{2}-xy+y^{2}=1$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x^{4}+y^{4}+1}{x^{2}+y^{2}+1}$

 

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-8x+5}{x^{2}-2x+2}$

 

Many thanks.

Giải phương trình:

 

1. $\log _{3}(\frac{x^{2}+x+3}{2x^{2}+4x+5})=x^{2}+3x+2$

2. $12\times 3^{x}+3\times 15^{x}-5^{x+1}=20$

 

Many thanks.

 

Mong mọi người giúp đỡ với đề bài và hai cách giải sau (không biết cái nào đúng):

 

Cho hàm số: $y=x^{3}+(1-2m)x^{2}+(2-m)x+m+2$

 

Tìm m để hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$

 

C1:

 

- Tập xác định $D=\mathbb{R}$

 

- ${y}'=3x^{2}+2(1-2m)x+2-m$

 

- Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$

 

$\Leftrightarrow$ ${y}'=3x^{2}+2(1-2m)x+2-m\geqslant 0 ,\forall x\in (0;+\infty )$

$\Leftrightarrow$ ${\Delta }'\leq 0$

$\Leftrightarrow$ $4m^{2}-m-5\leq 0$

$\Leftrightarrow$ $-1\leq m\leq \frac{5}{4}$

 

C2:

 

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

 

- ${y}'=3x^{2}+2(1-2m)x+2-m$

 

- Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ 

 

$\Leftrightarrow$ ${y}'=3x^{2}+2(1-2m)x+2-m\geqslant 0 ,\forall x\in (0;+\infty )$

$\Leftrightarrow$ $f(x)=\frac{3x^{2}+2x+2}{4x+1}\geq m,\forall x\in (0;+\infty )$

Ta có:

 

${f}'(x)= \frac{2(2x^{2}+x-1)}{(4x+1)^{2}}= 0\Leftrightarrow 2x^{2}+x-1= 0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$

 

Lập bảng biến thiên của hàm ${f}(x)$ trên $(0;+\infty )$, ta có kết luận:

$f(\frac{1}{2})\geq m\Leftrightarrow \frac{5}{4}\geq m$

 

Vậy cách làm và kết quả nào đúng? Nếu sai nhờ mọi người chỉ giúp sai chỗ nào?

Many thanks.