manhbbltvp

Chia cả hai vế cho $xyz$ ta được $: 1=\left(\frac{1}{x}-1\right) \left(\frac{1}{y}-1\right)\left( \frac {1}{z}-1\right)$ 

Đặt $: (\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})=(a;b;c) $ . Ta được $:$

$ P= a+b+c+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$  và  $1=(a-1)(b-1)(c-1)$

$\Rightarrow  1 \leq \left(\frac{a+b+c-3}{3}\right)^3 \Leftrightarrow a+b+c \geq 6 ((a-1),(b-1),(c-1)>0)$

Mà $ : P\geq a+b+c +\frac{9}{a+b+c} $

Đặt $:a+b+c=t => P=\frac{t}{4} +\frac{9}{t} +\frac{3t}{4} \geq \frac{15}{2} $

Đẳng thức xảy ra khi $:a=b=c \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

chỗ đấy sai rồi bạn 

Hệ thức Vièt được phát biểu như sau:

   Nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ thì $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.$

 

 

_____________________________________

 

 

Không biết nhớ đúng không nữa, nhưng nội dung đại khái của nó là như vậy.

cảm ơn nha

Đặt 

$$Q= x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$$

Áp dụng BĐT $Schwarz$, ta có:

$$PQ\geq (x^3+y^3+z^3)^2=4(1)$$

Áp dụng BĐT $Schur$, ta có:

$$Q\leq x^3+y^3+z^3+3xyz\leq x^3+y^3+z^3+x^3+y^3+z^3=4(2)$$

Từ $(1),(2)\Rightarrow Q\geq =1$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

từ (1)và (2)$\Rightarrow$P $\geq 1$ chứ không phải là Q

Thực ra bài này không cần tìm nghiệm, ra đến chỗ phương trình bậc hai rồi làm như mình đã sửa là xong.ề

hệ thức viet mình chưa học bạn có thể nói rõ được hơn không

đặt f(x)=$ax^{2}+bx+c$

nếu x=1 thì f(1)=a+b+c 

mà theo giả thiết a+b+c=0$\Rightarrow$f(1)=0$\Rightarrow x=1$ là nghiệm của đa thức f(x)

Ta có

$PT\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+...+\frac{1}{x+2015}-\frac{1}{x+2016}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2016}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2015}{(x+1)(x+2016)}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow(x+1)(x+2016)=4030$

$\Leftrightarrow x^2+2017x-2014=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{-2017\pm\sqrt{4076345}}{2}(Q.E.D)$

 

 

_______________________________________________________

 

 

Làm bừa không biết đúng hay sai   

trường hợp$x_{1,2}=\frac{-2017+\sqrt{4076345}}{2}$ mình thử ra không đúng

P=$\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$=$\left | (1-c)(1-a)(1-b) \right |$=$\left | 1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc \right |$=$\left | ab+bc+ac-abc \right |$

áp dụng bđt $ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow P\leq \left | \frac{1}{3}-abc \right |\leq \frac{1}{3}$(vì $abc\geq 0$)

mọi người tham gia giải nha

Giải PT:

$$\frac{(b-c)(1+a)^{2}}{x+a^{2}}+\frac{(c-a)(1+b)^{2}}{x+b^{2}}+\frac{(a-b)(1+c)^{2}}{x+c^{2}}=0$$

 với a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau

ta có $5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60\Rightarrow 5\left ( P-y-z \right )^2+4y^{2}+3z^{2}+2yz\left ( P-y-z \right )-60=0$

$\Rightarrow \left ( 9-2z \right )y^{2}-2\left ( P-z \right )\left ( 5-z \right )y+5(P-z)^{2}+3(z^{2}-20)=0$

$\Rightarrow \Delta ^{'}_{y}=\left ( P-5 \right )^{2}\left ( 5-z \right )^{2}-(9-2z)[5(P-z)^{2}+3(z^{2}-20)]\geq 0$

$\Leftrightarrow (z^{2}-20)[(P-z)^2-27+6z]\geq 0$

mà $5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60  và  x,y,z>0$

$\Rightarrow 3z^{2}<20\Rightarrow 3z^{2}-20<0\Rightarrow(P-2)^2-27+6z\leq 0$

$\Rightarrow (P-z)^2\leq 27-6z\Rightarrow P-z\leq \sqrt{27-6z}$

$\Rightarrow P\leq z+\sqrt{27-6z} \leq 6$

$\Rightarrow max P=6\Leftrightarrow x=1,y=2,z=3$

$x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4^{x}+1=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)$

$\Rightarrow x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4^{x}+1=x^{4}+(a+c)x^{3}+(d+ac+b)x^{2}+(ad+bc)x+bd$

 Đồng nhất các hệ số ta được

$\left\{\begin{matrix} a+c=-4 & & & & \\ d+ac+b=1& & & & \\ ad+bc=4& & & & \\ bd=1& & & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow b=d=-1,a=-3,c=-1$

$\Rightarrow x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4^{x}+1=(x^{2}-3x-1)(x^{2}-x-1)=0$ 

đến đây chắc các bạn tự giải được

 $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}= a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2ab}= a-\frac{b}{2}$

$\Rightarrow$ $\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}=b-\frac{c}{2}$

                        $\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}=c-\frac{a}{2}$

$     \Rightarrow \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

ta có  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$

$\Rightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{ca+cb+c^{2}}=0  \Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( ca+cb+c^{2}+ab\right )=0$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\Rightarrow a+b=0$ hoặc $b+c=0$ hoặc $c+a=0$

$+)$ nếu  $a+b=0 \Rightarrow c=1\Rightarrow a=1,b=-1$ hoặc $a=-1,b=1 \Rightarrow a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1$

các trường hợp còn lại cmtt

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)

Áp dụng bđt Cô-si \Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}

                                                     b+c\geq 2\sqrt{bc}

                                                     c+a\geq 2\sqrt{ac}

                                 \Rightarrow 3(a+b)(b+c)(a+c)\geqslant 24\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}=24abc

                                 \Rightarrow $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc

                                 \Rightarrow đpcm$

giải hộ câu 5c và câu 6 với