Đến nội dung

lucifer97

lucifer97

Đăng ký: 01-03-2016
Offline Đăng nhập: 13-09-2016 - 19:47
-----

#645108 Chứng minh $(IMN)$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định

Gửi bởi lucifer97 trong 15-07-2016 - 22:31

Cho $BC$ là dây cung cố định của $(O)$. Trên đường tròn đường kính $BC$ lấy $M, N$ sao cho $MN$ tiếp xúc với $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $(IMN)$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định khi $M,N$ thay đổi


#644321 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi lucifer97 trong 10-07-2016 - 09:50

Bài 76

câu a có bài tổng quát được thầy Hùng phát biểu ở đây

Mình xây dựng và phát biểu lại như sau : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Trung trực $BC$ giao $AB, AC$ tại $E, F$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $EF$ giao tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở $M,N$ thì $(IMN)$ tiếp xúc $(O)$

Chú ý tính chất trực giao của $(AMN)$ và $(O)$. Mình che đi $(O)$ và phát biểu bài toán mới theo $(AMN)$

câu b là một trường hợp đặc biệt của bài toán sau:
Cho $(I)$ và $(O)$ giao nhau tại $BC. A$ di động trên $(O). AB, AC$ cắt $(I)$ tại $E, F$ thì $(AEF)$ tiếp xúc với $2$ đường tròn cố định đồng tâm $I$. Hơn nữa $2$ đường tròn này cũng tiếp xúc với $(O)$ !

Trong bài toán, do tình cờ nên $(ILK)$ đi qua tâm $Q$ ( theo lời giải bạn khanh) nên chỉ còn lại $1$ đường tròn ( ta có thể xem $(ILK)$ tiếp xúc với $(Q,0)$ và $(Q,QO)$)




#644247 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi lucifer97 trong 09-07-2016 - 17:20

Cho phép mình đề xuất bài tiếp theo
 
$\boxed{\text{Bài toán 76}}$. ( Đặc biệt hóa 1 bài toán của thầy Hùng)
Cho $P$ là điểm cố định nằm trong đường tròn $(O). A$ di động trên $(O), (AOP)$ giao $(O)$ tại $B$ khác $A$. Phân giác trong góc $APB$ giao $(O)$ tại $E, F$. Gọi $(I)$ là đường tròn tâm $I$ đường kính $AB. (I)$ giao $OE$ tại $M,N$;  giao $OF$ tại $R, S$.
a) Chứng minh $2$ đường tròn $(IMN), (IRS)$ cùng tiếp xúc với $1$ đường tròn cố định.  Gọi $2$ tiếp điểm là $L, K$.
b) Chứng minh $(ILK)$ tiếp xúc $1$ đường tròn cố định



#643512 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi lucifer97 trong 03-07-2016 - 22:04

Đề nghị bài mới.

$\boxed{\text{Bài toán 59}}$ ( Sáng tác) Cho $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AD$ là đường kính. $BD$ giao $AC$ tại $M, CD$ giao $AB$ tại $N, AD$ giao $BC$ ở $P.$ Trung tuyến xuất phát từ $P$ của tam giác $MNP$ cắt $(O)$ tại $I. I$ đối xứng $K$ qua $MN,$ Chứng minh $(KMN)$ tiếp xúc $(O)$




#639117 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi lucifer97 trong 09-06-2016 - 10:37

P/s: một bạn đề xuất bài mới giúp mình được không ạ?  

$\boxed{\text{Bài toán 28}}$

Cho tam giác $ABC$ với $E, F$ là chân đường phân giác trong góc $B$ và $C. EF$ cắt $(ABC)$ tại $M,N$. Chứng minh $2$ tiếp tuyến của $(ABC)$ tại $M,N$ cũng tiếp xúc đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$

(Sáng tác)

 

Ps: Bạn Ngockhanh trả lời nhanh quá nên đăng lời giải bài 27 không kịp @@




#631490 Chứng minh $DE$ đi qua trung điểm $J$ của $HK$

Gửi bởi lucifer97 trong 05-05-2016 - 21:49

Hình như bài này là đề thi vào lớp 10 trường nào thì phải

 

Nếu gọi $F$ là chân đường vuông góc từ $K$ xuống $AC$ thì $D, E, F$ thằng hàng ( đường thẳng SImson)
Gọi $K_{1}.K_{2}.K_{3}$ là các điểm đối xứng của $K$ qua $BC,AC,AB$ thì $K_{1}.K_{2}.K_{3}$ và $H$ thẳng hàng ( đường thẳng Steiner)

Từ đây dễ thấy đpcm

Cách c/m các đường thẳng trên, ban có thể tìm được ở rất nhiều tài liệu mà có cách chứng minh phù hợp với THCS




#630390 Chứng minh $(MPQ) $ tiếp xúc 1 đường tròn cố định

Gửi bởi lucifer97 trong 30-04-2016 - 20:21

Cho $BC$ là dây cung cố định của $(O), A$ di động trên cung $BC$ lớn. Gọi $I,P,Q$ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc $B$, bàng tiếp góc $C$ của tam giác $ABC. D$ thuộc $(O)$ sao cho $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. Phân giác góc $BDC$ giao $(IBC)$ ở $N. M$ đối xứng $N$ qua $PQ$. Chứng minh $(MPQ)$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định

 

Nguồn : Own




#630376 Chứng minh $\odot (BDC)$ tiếp xúc $\odot (AEF)$

Gửi bởi lucifer97 trong 30-04-2016 - 19:18

Bài toán này thực sự thú vị. Ta có thể mở rộng hơn nữa như sau:

Cho $BC$ là dây cung cố định của $(O), A$ di động trên $(O). I$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Lấy $F$ trên cạnh $AB, E$ trên cạnh $AC$ sao cho $IE=IF=d=const$. Khi đó $(AEF)$ tiếp xúc với 1 đường tròn không đổi có tâm $I$. 

Nếu gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $IM=d$, ta thu được bài toán trên

 

Bài toán tổng quát có lời giải khá gọn như sau:

Dễ c/m $AIEF$ nội tiếp, suy ra 2 góc $BAC$ và $EIF$ bằng nhau và không đổi

Gọi $D$ là giao của phân giác góc $BAC$ và $(AEF)$ thì $ID$ là đường kính của $(AEF)$. Ta cần chứng minh $ID=const$

Thật vậy $ID=EF/sinEIF$

$EF$ là dây cung của $ (I,d)$ và có góc $EIF$ không đổi nên $EF$ không đồi, Từ đây ta thu được dpcm

 

Khi trung điểm $M$ của $BC$ nằm trên $(I,d)$ thì ta cũng dễ thấy $ID=IB=IC$




#628660 Chứng minh trung điểm $MN$ là điểm cố định

Gửi bởi lucifer97 trong 21-04-2016 - 10:07

Cho tam giác $ABC$ có phân giác góc $BAC$ cắt trung trực $BC$ tại $D$. $E, F$ di động trên $AD. (ABE)$ giao $(ACF)$ tại $ M$ khác $A, (ABF)$ giao $( ACE)$ tại $N$ khác $A$. Chứng minh nếu $DE=DF$ thì trung điểm $MN$ là điểm cố định

 

Nguồn : own




#624200 Tìm quỹ tích điểm $K$

Gửi bởi lucifer97 trong 02-04-2016 - 12:58

Đúng là mình bi nhầm

Rõ ràng $KO-KO'=(r+R)-(r+R')=R-R'=const$ nên $K$ thuôc 1 hyperbol có tiêu điểm là O, O'




#624115 Chứng minh EF tiếp xúc 1 đường tròn cố định

Gửi bởi lucifer97 trong 01-04-2016 - 21:30

Cho $(O)$ có $BC$ dây cung cố định, $A$ di động trên cung $BC$ lớn. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ .Trên tiếp tuyến của $(O)$ tại $B, C$ lấy $P, Q$ sao cho $PQ$ vuông góc $AB$ và $A$ nằm trên $PQ. BQ$ giao $CP$ tại $ I. (d)$ đối xứng $AI$ qua $AH, (d)$ giao $BC$ tại $M$. Gọi $(T)$ là đường tròn qua $A, M$ có tâm thuộc $AH. (T)$ giao $AB, AC$ tại $E, F$. Chứng minh $EF$ là tiếp tuyến 1 đường tròn cố định




#623003 Chứng minh tâm 6 đường tròn nằm trên 1 đường tròn

Gửi bởi lucifer97 trong 27-03-2016 - 19:46

Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm $G$ và $M, N, P$ là trung điểm $BC, AC, AB$. Chứng minh tâm $6$ đường tròn $(GBM), (GCM), (GCN), (GAN), (GAP), (GBP)$ nằm trên 1 đường tròn