datbadao

Bài 124: Cho $a;b\in Q^{+}$ sao cho $a^{3}+4a^{2}b=4a^{2}+b^{4}$

Chứng minh: $\sqrt{a}-1$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Từ giả thiết suy ra $(a\sqrt{a}+2b\sqrt{a})^{2}=(2a+b^{2})^{2}$

  Mà a,b dương nên có$\sqrt{a}$=$\frac{2a+b^{2}}{a+2b}$ là một số hữu tỉ

Đặt $\sqrt{a}$=x$\in \mathbb{Q}$ biến đổi thành

 $b^{2}-2bx+2x^{2}-x^3=0$

có $\Delta =x^{2}(x-1)$ là bình phương của một số hữu tỉ

suy ra x-1 là bình phương một số hữu tỉ (ĐPCM)

tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho m²+3 chia hết cho số nguyên tố p có dạng 3n+2, với n là số nguyên dương nào đó

Cho a b c là các số thực dương thoả mãn ab+bc+ca=1

chứng minh $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq$ 9/7

từ gt dễ có bài toán quen thuộc abc$\leq \frac{1}{8}$$\Rightarrow 8a^{2}+1\leq \frac{a}{bc}+1$

theo svac xơ VT$\geq \sum \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{\sum a^{2}b^{2}+3abc}$

từ gt suy ra 2$\geq \frac{9}{a+b+c+3}\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2} \Rightarrow 3abc\leq 2abc(a+b+c)$

do đó VT$\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{\sum a^{2}b^{2}+2abc(a+b+c)}=1$

ĐPCM

Cho a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

Chứng minh: $\frac{1}{8a^{2}+1}+\frac{1}{8b^{2}+1}+\frac{1}{8c^{2}+1}\geq 1$

có đk a,b,c dương k bạn

Bài 1.Cho $a,b,c> 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 2$ . Chứng minh

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$

Bài 2. Cho a b c dương thoả mãn

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

chứng minh $a+b+c\geq ab+bc+ca$

$3-\sum \frac{a+b}{a+b+1}= 3-A.$

Có $A\geq \frac{(a+b+b+c+c+a)^{2}}{2\sum (a^{2})+2\sum a+2\sum ab}\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+a+b+c-\sum ab}\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+a+b+c-3/4}( ab+bc+ca\geq 3/4 )$

Đặt $x=a+b+c$ quy về cm $\frac{2x^{2}}{x^{2}+x-3/4}\geq 3/2\Leftrightarrow (2x-3)^{2}\geq 0.$