ThuThao36

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\\ 4\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=9(y-1)\sqrt{2x-2} \end{matrix}\right.$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó có một chữ số xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần?

TH1: Nếu chữ số lặp là 0

Có $C_{3}^{2}$ cách chọn vị trí chữ số lặp

$A_{9}^{2}$ cách chọn 2 chữ số còn lại

=> Có 216 số

Th2: Nếu chữ số lặp không là 0

$C_{9}^{1}$ cách chọn chữ số lặp

$C_{4}^{2}$ cách chọn vị trí cho chữ số lặp

$A_{9}^{2}$ cách chọn cho 2 chữ số còn lại

=> Có $C_{9}^{1}.C_{4}^{2}.A_{9}^{2}-C_{9}^{1}.C_{3}^{2}.C_{8}^{1}=3672$ số (trừ số có chữ số 0 đứng đầu)

Vậy có 3888 số

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số đó bằng 8.

Có các bộ 3 số khác nhau có tổng bằng 8: (0,1,7); (0,2,6); (0,3,5); (1,2,5); (1,3,4)

- Số có chữ số 0: 3.2.2!=12 số

- Số không có chữ số 0: 2.3!=12 số

Vậy có 24 số

Giả sử số có 5 chữ số có dạng: $abcde$.

Khi đó: +e: có 5 cách chọn {1;3;5;7;9}.

            +d: có 9 cách chọn.

            +c: có 8 cách chọn.

            +b: có 8 cách chọn.

            +a: có 7 cách chọn.

Số các số thỏa mãn là: 5*9*8*8*7=20160(số)

các chữ số có thể lặp 2 lần mà bạn ví dụ như aabcd hoặc là aabbc cũng được mà

Giải BPT $3-x+\sqrt{6-8x}\ge 10x^2+\sqrt{2x+1}$

ĐKXĐ: $\frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{3}{4}$

Bpt $\Leftrightarrow (10x^{2}+x-3)+(\sqrt{2x+1}-\sqrt{6-8x})\leq 0$

$\Leftrightarrow (2x-1)(5x+3)+\frac{5(2x-1)}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{6-8x}}\leq 0$

$\Leftrightarrow (2x-1)[5x+3+\frac{5}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{6-8x}}]\leq 0$

Từ ĐKXĐ $\Rightarrow 5x+3+\frac{5}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{6-8x}}> 0$

Do đó, bpt $\Leftrightarrow 2x-1\leq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}$

Giải phương trình lượng giác 

$$\cos^{2} x + \cos x + \sin^{3} x = 0$$

$\Leftrightarrow cosx(cosx+1)+sinx(1-cos^{2}x)=0$

$\Leftrightarrow (cosx+1)(cosx+sinx-sinxcosx)=0$

TH1: $cosx=-1$

TH2: Đặt $t=sinx+cosx$

P/s: Khuyên bạn nên đặt lại cái tiêu đề, BQT lại khóa bài nhắc nhở đấy 

Đề bài các dấu $+$ $-$ xen kẽ nhau mà bạn.

Mình nhầm >.< Cảm  ơn bạn

$\sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\sqrt{2x^{2}+1}$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{3x+2}-2)+x(\sqrt{3x-2}-2)+2(x+1-\sqrt{2x^{2}+1})=0$

$\Leftrightarrow \frac{3(x-2)}{\sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}+\frac{3x(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2x(x-2)}{x+1+\sqrt{2x^{2}+1}}=0$

TH1: $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ 

TH2: $\frac{3}{\sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}+x(\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^{2}+1}})=0$ (1)

Đánh giá: $\frac{3}{\sqrt{3x+2}+2}> \frac{2}{x+1+\sqrt{2x^{2}+1}}$

$\Leftrightarrow 3x+3+3\sqrt{2x^{2}+1}> 2\sqrt{3x-2}+4$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x^{2}+1}> 2\sqrt{3x-2}-(3x-1)$

Lại có: $2\sqrt{3x-2}< 3x-1$

$\Leftrightarrow 9x^{2}-18x+9> 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow 2\sqrt{3x-2}-(3x-1)< 0 \Rightarrow 3\sqrt{2x^{2}+1}> 2\sqrt{3x-2}-(3x-1)$

$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^{2}+1}}> 0$

Suy ra (1) vô lí.

Phương trình có nghiệm x=2

Giải phương trình sau: $x^{2}=\sqrt[]{x^{3}-x^{2}} + \sqrt{x^{2}-x}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Pt $\Leftrightarrow x^{4}=x^{3}-x+2\sqrt{x^{3}(x-1)^{2}}$

$\Leftrightarrow x^{4}-x^{3}-2\sqrt{(x^{4}-x^{3})(x-1)}+x-1+1=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{4}-x^{3}}-\sqrt{x-1})^{2}+1=0$ (vô lí)

Phương trình vô nghiệm

Tam giác ABC có trực tâm H, AD là đường cao. E, F lần lượt là hình chiếu của D trên BH, CH. P là giao của EF và AD.

a. Chứng minh $DP\perp AC$

b. Tìm tọa độ A, B, C biết $D(1;-1), P(3;1), và E(2;0)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Hình như có gì đó sai sai
P thuộc AD thì DP làm sao vuông góc với AC được

Tính F=$\sqrt{1+1999^{2}+\frac{1999^{2}}{2000^{2}}}+\frac{1999}{2000}$

Đặt a=1999. Khi đó:

$F=\sqrt{1+a^{2}+\frac{a^{2}}{(a+1)^{2}}}+\frac{a}{a+1}$

$=\sqrt{\frac{(a+1)^{2}+a^{2}(a+1)^{2}+a^{2}}{(a+1)^{2}}}+\frac{a}{a+1}$

$=\sqrt{\frac{(a^{2}+a)^{2}+2(a^{2}+a)+1}{(a+1)^{2}}}+\frac{a}{a+1}$

$=\frac{a^{2}+a+1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$

$=a+1=2000$

$Cho \frac{3}{2}x^{2} + y^{2} + z^{2} + yz = 1. Tim GTLN cua x+y+z$

$\frac{3}{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz=1$

$\Leftrightarrow 3x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2yz=2$

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(x+y+z)^{2}=2$

$(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(x+y+z)^{2}\geq (x+y+z)^{2}$

$\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{2}$

Xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}$

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(y+3x)=2y(1)\\ 3y^{2} =-2y^2x-x^{3}+3x^{2}y(2) \end{matrix}\right.$
Nhân chéo 2 vế của (1) và (2) :  $<=> 2y(3x^2y - x^3 - 2y^2x) = 3y^2(x-y)(y+3x) <=> y(x-y)(x+y)(2x+3y)=0$
Tự thế lại vào pt (1) 
p/s: Ý tưởng là vậy nhân chia có sai sót gì thì thông cảm nhé  

Ồ, cách này của bạn hay hơn nhiều 

Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left( x-y \right)\left( y+3x \right)(3) \\ 3\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}+2\frac{{{y}^{2}}}{x}+x-3y=0 \end{matrix}\right.$ 

Hệ tương đương:

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=3x^{2}-2xy-2y(1)\\ y^{2}(3+2x)+x^{3}-3x^{2}y=0(2) \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2)

$(3x^{2}-2xy-2y)(3+2x)+x^{3}-3x^{2}y$

$\Leftrightarrow 7x^{3}+9x^{2}-7x^{2}y-10xy-6y=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{7x^{3}+9x^{2}}{7x^{2}+10x+6}$

Thay vào (3):

$\frac{2(7x^{3}+9x^{2})}{7x^{2}+10x+6}=\frac{x^{2}+6x}{7x^{2}+10x+6}.\frac{28x^{3}+39x^{2}+18x}{7x^{2}+10x+6}$

$\Leftrightarrow (14x+18)(7x^{2}+10x+6)=(x+6)(28x^{2}+39x+18)$

$\Leftrightarrow 70x^{3}+59x^{2}+12x=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-12}{35}$ hoặc $x=\frac{-1}{2}$

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

  Tìm GTNN của biểu thức:

$T=(x+y)\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{2}{z^{2}}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^{2}}}$