ThuThao36

Nghĩ lại nên để dữ liệu đề bài là $a,b,c,d$ là các số nguyên thỏa $ac$ nguyên.  Nhưng dù sao đó là một lời giải hay . Ta thử nghĩ cách khác 

Nghĩ lại, đề bài cho a,b,c,d là số thực nên nếu $abcd=(ac)^{2}$ thì abcd chưa chắc là số chính phương. 

Có phải đề sai không, có thể là: Chứng minh abcd bằng bình phương của một số thì đúng hơn

Lên face thấy cái này hay và lạ nên up cho mọi người xem (chưa kiểm tra xem đề đúng hay chưa nữa ) 
Cho $a,b,c,d$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa : 
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2$ 
Chứng minh $abcd$ là scp . 
Đề gốc : 

GT$\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}+\frac{d}{d+a}=(1-\frac{a}{a+b})+(1-\frac{c}{c+d})$

     $\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}+\frac{d}{d+a}=\frac{b}{a+b}+\frac{d}{c+d}$

     $\Leftrightarrow b(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b})+d(\frac{1}{d+a}-\frac{1}{c+d})=0$

     $\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{(b+c)(a+b)}-\frac{d(a-c)}{(d+a)(c+d)}=0$

     $\Leftrightarrow (a-c)\frac{bd^{2}+abc-b^{2}d-acd}{(b+c)(a+b)(d+a)(c+d)}=0$ (quy đồng rồi rút gọn)

     $\Leftrightarrow (a-c)(d-b)(bd-ac)=0$

     $\Leftrightarrow bd=ac$ (do các số đôi một khác nhau)

     $\Rightarrow$ abcd là số chính phương
Bài này làm từ lớp 8, m.n thấy có hợp lí không ạ 

 

     2.   cho x,y là hai số dương thỏa mãn x+y=1
     cmr: 3(3x-2)^{2 +}$\frac{8x}{y}$$\geq 7$

 

BĐT $\Leftrightarrow 3(3x-2)^{2} +\frac{8x}{1-x}\geqslant 7$

        $\Leftrightarrow 3(3x-2)^{2} + \frac{8(x-1)}{1-x} +\frac{8}{1-x} \geqslant 7$

        $\Leftrightarrow 3(9x^{2}-12x+4) + \frac{8}{1-x} \geqslant 15$

        $\Leftrightarrow 27x^{2}-36x+12+18x-18+[18(1-x)+\frac{8}{1-x}]\geqslant 15$ (*)

  Áp dụng AM-GM

     $18(1-x)+\frac{8}{1-x}\geqslant 2\sqrt{18(1-x).\frac{8}{1-x}}=24$

 Lại có $27x^{2}-18x-6=3(3x-1)^{2}-9\geqslant -9$

$\Rightarrow (*)$ luôn đúng
BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x =\frac{1}{3}; y=\frac{2}{3}$
    Bài 1 có phải bạn ghi thiếu đề không 

Bài này hơi cứng, làm nhớ để ý dấu bằng:

 

$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}=\frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^{2}-y+1)}}\geq \frac{x}{\sqrt{\frac{(y^{2}-y+1+y+1)^{2}}{4}}}=\frac{2x}{y^{2}+2}$         (AM-GM)

tương tự..........

 

$\Rightarrow P\geq 2\sum \frac{x}{y^{2}+2}$

 

Ta có: $P\geq \sum \frac{2x}{y^{2}+2}=(x+y+z)-\sum \frac{xy^{2}}{y^{2}+2}$

 

$\frac{xy^{2}}{y^{2}+2}=\frac{xy^{2}}{\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+2}\leq \frac{xy^{2}}{3\sqrt[3]{\frac{y^{4}}{2}}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{3}y^{2}}}{3}=\frac{\sqrt[3]{2x.xy.xy}}{3}\leq \frac{2x+2xy}{9}$              (AM-GM)

 

$\Rightarrow \sum \frac{2x}{y^{2}+2}\geq 6-\frac{2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)}{9}\geq 6-\frac{2.6+2.12}{9}=2$

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=12$

 

$\Rightarrow P\geq 2$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$

.............................

 

P/S: Chúc 8/3 vui vẻ!

Mơn ạ   Mơn câu cuối luôn 

$p^{2}$ là số chính phương nên $p^{2}$ chia 7 dư 0,1,2 hoặc 4
- Nếu $p^{2} \vdots 7$ thì $p \vdots 7 \Rightarrow p=7$ , thay vào thỏa mãn

-Nếu $p^{2}$ chia 7 dư 1 thì $3p^{2}+4$ $\vdots 7 \Rightarrow $ trái với đề bài

- Nếu $p^{2}$ chia 7 dư 2 $3p^{2}+1 \vdots 7 \Rightarrow$ vô lí

-Nếu $p^{2}$ chia 7 dư 4 $2p^{2}-1 \vdots 7 \Rightarrow$ vô lí

Vậy p=7

Câu này đã có ở đây