Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương
Đặt $S=x^2y^4-y^3+1$.
Trước hết với trường hợp $y=1$ thì $S=x^2$ là số chính phương với $x$ tùy ý. Do đó cặp số $(x,y)$ thỏa là $(k,1)$ với $k$ là số nguyên dương tùy ý.
Xét $y\geq 2$. Khi đó ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: Với $k$ là số nguyên dương, $k\geq 2$ thì khi đó, nếu $a,b$ là các số nguyên dương thỏa:
$\left\{\begin{matrix} ab=k^3-1\\ k^2\mid a+b\\ \end{matrix}\right.$
thì $(a,b)$ là một hoán vị của $(k^3-1;1)$.
Trở lại bài toán: Đặt $S=t^2$ suy ra $(xy^2-t)(xy^2+t)=y^3-1$. Nếu đặt $a=xy^2-t$ và $b=xy^2+t$ thì $ab=y^3-1$ và $ y^2\mid a+b$ nên theo bổ đề ta có được $xy^2+t=y^3-1$ và $xy^2-t=1$. Suy ra $2xy^2=y^3\Rightarrow 2x=y$. Suy ra phương trình có nghiệm là $(k,2k)$ với $k$ là số nguyên dương tùy ý, thử lại thấy thỏa.
Kết luận: Phương trình có các nghiệm nguyên là $(k;1)$ và $(k;2k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.
- Namthemaster1234 và I Love MC thích