Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


the unknown

Đăng ký: 10-03-2016
Offline Đăng nhập: 27-02-2020 - 21:06
****-

Chủ đề của tôi gửi

Dịch bệnh tại vương quốc Wakanda

15-03-2018 - 22:29

Tại vương quốc Wakanda có $2018^2$ thành phố nằm trên $2018^2$ ô vuông của một bảng vuông $2018\times 2018$, mỗi ô có đúng một thành phố. Hai thành phố được coi là lân cận nếu chúng nằm trên hai ô vuông có chung cạnh. Một ngày nào đó vô tình một bệnh dịch khủng khiếp đã phát tán ở quốc gia Wakanda và có sức lây lan khủng khiếp. Sau một ngày, từ một thành phố bị nhiễm bệnh thì nó sẽ lây lan sang các thành phố lân cận. May thay, chính phủ và bộ y tế đã tìm ra loại thuốc khống chế dịch bệnh này và phân phát cho một số thành phố ở Wakanda, và cứ sau một ngày sẽ phân phát thuốc cho các thành phố lân cận, (các thành phố có thuốc chữa đương nhiên sẽ được coi là không nhiễm bệnh), Với sự phát triển công nghệ sinh học vượt bậc, các phương thuốc này tỏ ra rất hiệu quả và người ta nhận thấy rằng:

 

i) Nếu một thành phố mà các thành phố lân cận với nó đều không bị nhiễm bệnh hay có thuốc chữa thì nó sẽ không thay đổi trạng thái.

ii) Nếu một thành phố chưa bị nhiễm bệnh (các thành phố có thuốc chữa cũng là chưa nhiễm bệnh ) thì nó bị nhiễm bệnh khi và chỉ khi ở các thành phố lân cận của nó, số thành phố bị nhiễm bệnh lớn hơn số thành phố có thuốc chữa.

iii) Một thành phố bị nhiễm bệnh sẽ được chữa nếu nó có ít nhất $2$ thành phố lân cận có thuốc chữa.

 

a) Giả sử tại một thời điểm nào đó có đúng $3$ thành phố bị nhiễm bệnh. Hỏi quốc vương Wakanda phải đảm bảo tại thời điểm đó có ít nhất bao nhiêu thành phố có thuốc chữa để đến cuối cùng thì toàn vương quốc sẽ được chữa?

b) Xác định số $m$ nhỏ nhất để nếu tại bất kì một thời điểm nào có $m$ thành phố có thuốc chữa thì chắc chắn toàn vương quốc sẽ được chữa. 

(Toàn vương quốc được coi như được chữa khi không tồn tại một thành phố bị nhiễm bệnh)

 

( Lưu ý: Thành phố không bị nhiễm bệnh không có nghĩa rằng là có thuốc chữa. Nói đơn giản, một thành phố có ba trạng thái: bị nhiễm bệnh, có thuốc chữa, không bị bệnh cũng như không có thuốc chữa)


$n=a_{i_1}+2017a_{i_2}+...+2017^{2016}a_{i_...

11-09-2017 - 20:18

Một dãy số tự nhiên $a_0<a_1<a_2<...$ có tính chất sau: Với bất kỳ số tự nhiên $n$ nào thì tồn tại duy nhất $2017$ chỉ số $i_1,i_2,...,i_{2017}$ không nhất thiết phân biệt để 

$ n= a_{i_1}+2017 a_{i_2}+...+2017^{2016} a_{i_{2017}}$

Chứng minh rằng với số nguyên dương $m$ mà $a_m=m^{2017}$ thì tồn tại số tự nhiên $k$ để $m={2017}^k$.


$P_n\leq 6,75^n$

11-09-2017 - 15:24

Với mỗi số nguyên dương $n$,trong lưới ô vuông, ta định nghĩa một $n-$mino là một tập hợp $n$ hình vuông $1\times 1$ liên thông với nhau ( có nghĩa là từ hình vuông này có thể đi đến các hình vuông khác chỉ qua các cạnh ). Hai $n-$mino là giống nhau khi và chỉ khi có một phép tịnh tiến biến mino này thành mino kia. Gọi $P_n$ là số tất cả các $n-$mino khác nhau. Chứng minh rằng $P_n\leq 6,75^n$.


Đề thi chọn đội dự tuyển lớp 10 PTNK - ĐHQGTPHCM

14-01-2017 - 18:56

Đại học quốc gia TPHCM                                      Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán lớp 10

Trường Phổ Thông Năng Khiếu                                        Năm học 2016-2017

                                                                                              Thời gian: 120 phút

 

Bài 1: Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{x^4}{x^3+y^2+z^2}+\frac{y^4}{y^3+x^2+z^2}+\frac{z^4}{z^3+y^2+x^2}\geq \frac{1}{7}$

 

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

$i)$ $f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^*$

$ii)$ $f(m)+f(n)$ chia hết cho $m+n$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^*$

$iii)$ $f(2017)=2017^3$

 

Bài 3: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ cố định. $C$ là một điểm thay đổi trên cung lớn $AB$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $I,I_a,I_b$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp góc $A$, đường tròn bàng tiếp góc $B$ của tam giác $ABC$.

a) Gọi điểm đối xứng của $i$ qua $O$ là $M$. Chứng minh tam giác $MI_aI_b$ cân.

b) Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $I_b,I_a$ trên $OI$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BI_a$ và đường thẳng qua $K$ vuông góc với $AI_b$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $P$ thuộc một đường cố định.

 

Bài 4: Cho $S$ là tập hợp khác rỗng và $A_1,A_2,...,A_m$ $(m\geq 2)$ là $m$ tập con của $S$. Gọi $T$ là tập gồm tất cả các tập $A_i\Delta A_j$ với $1\leq i,j \leq m$. Chứng minh rằng $\left | T \right |\geq m$.

( Với ký hiệu $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ và $|T|$ là số phần tử của $T$).

 

-----------------------------------------------------------HẾT----------------------------------------------------------


$f(\frac{f(n)}{n})=n^2$

07-08-2016 - 08:53

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn hệ thức:

$f(\frac{f(n)}{n})=n^2$

với mọi số nguyên dương $n$.