Ngohanganh2581

E cám ơn ạ

Để củng cố kiến thức cho các bạn Sinh viên năm nhất đang học về Tích phân đường, tích phân mặt. Mình sẽ gửi lên đây những bài toán từ cơ bản đến nâng cao để các bạn rèn luyện, trau dồi khả năng giải toán. Như tiêu đề của topic thì mình chỉ xin đề cập đến hai vấn đề là Tích phân đường và tích phần mặt trong chương trình Toán cao cấp.

Ta sẽ bắt đầu với

PHẦN 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

I. Tóm tắt kiến thức.
Phần này các bạn có thể xem lại các khái niệm, tính chất, các định lí, hệ quả cũng như phương pháp tính trong các giáo trình Toán cao cấp liên quan.

II. Ví dụ và bài tập.

Ví dụ 1: Tính $\oint\limits_L {\left( {x - y} \right)} ds$, trong đó $L:{x^2} + {y^2} = 2ax$

GIẢI.
Chuyển qua tọa độ cực $\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \\ y = r\sin \varphi \\
\end{gathered} \right.$

Trong tọa độ cực phương trình đường tròn có dạng $r = 2a\cos \varphi , - \frac{\pi }{2} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}$

Vi phân độ dài cung: \[ds = \sqrt {{r^2} + {r_\varphi }{{^\prime }^2}} d\varphi = \sqrt {4{a^2}{{\cos }^2}\varphi + 4{a^2}{{\sin }^2}\varphi } d\varphi = 2ad\varphi \]
Do đó: \[\oint\limits_L {\left( {x - y} \right)} ds = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\left( {2a\cos \varphi } \right)\cos \varphi - \left( {2a\sin \varphi } \right)\sin \varphi } \right]} 2ad\varphi \]
\[ = 4{a^2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\varphi } d\varphi = 4{a^2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 + \cos 2\varphi }}{2}} \right)} d\varphi = ... = \boxed{2\pi {a^2}}\]
Ví dụ 2: Tính $I = \oint\limits_L {{y^2}dx - {x^2}} dy$, trong đó $L$ là chiều dương chu vi của nửa mặt tròn ${x^2} + {y^2} \leqslant {R^2},y \geqslant 0$.

GIẢI. Ta có thể giải quyết bài này bằng 2 cách.

Cách 1: Tính trực tiếp (các bạn vẽ hình ra để dễ nhìn nhé)

Xét nửa mặt tròn tâm $O$ bán kính $R$ nằm trên trục $Ox$ có chiều từ $B \to A,B\left( {R;0} \right),A\left( { - R;0} \right)$

Phương trình tham số của nửa đường tròn: $x = R\cos t,y = R\sin t$

Khi đó: \[I = \int\limits_{ACB} { + \int\limits_{AB} = \int\limits_0^\pi {\left( { - {R^2}{{\sin }^2}t.R\sin t - {R^2}{{\cos }^2}t.R\cos t} \right)dt} } \]
\[ = {R^3}\int\limits_0^\pi {\left( {1 - {{\cos }^2}t} \right)d\left( {\cos t} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)d\left( {\sin t} \right)} \]
\[ = {R^3}\left( {\left. {\cos t} \right|_0^\pi - \left. {\frac{1}{3}{{\cos }^3}t} \right|_0^\pi - \left. {\sin t} \right|_0^\pi + \left. {\frac{1}{3}{{\sin }^3}t} \right|_0^\pi } \right) = \boxed{ - \dfrac{4}{3}{R^3}}\]
Cách 2. Dùng công thức Green.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
P = {y^2}\\
Q = - {x^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2y\\
\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = - 2x
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = - \left( {2x + 2y} \right) = - 2\left( {x + y} \right)\]
Khi đó: \[I = \iint\limits_D {\left[ { - 2\left( {x + y} \right)} \right]}dxdy = - 2\iint\limits_D {\left( {x + y} \right)dxdy}\]
trong đó $D = \left\{ {\left( {x;y} \right)/{x^2} + {y^2} \leqslant {R^2},y \geqslant 0} \right\}$

Chuyển qua tọa độ cực: $\left\{ \begin{array}{l}
x = r\cos \varphi \\
y = r\sin \varphi
\end{array} \right.$ với $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le r \le R\\
0 \le \varphi \le \pi
\end{array} \right.$

Do đó: \[I = - 2\int\limits_0^\pi {d\varphi } \int\limits_0^R {\left( {r\cos \varphi + r\sin \varphi } \right)r} dr = - 2\int\limits_0^\pi {\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)d\varphi \left. {\frac{{{r^3}}}{3}} \right|} _0^R = ... = \boxed{ - \dfrac{4}{3}{R^3}}\]

Chú ý: Công thức Green chỉ được áp dụng trong trường hợp đường lấy tích phân là đường cong kín và các hàm số $P\left( {x;y} \right),Q\left( {x;y} \right)$ và các đạo hàm riêng $\frac{{\partial P}}{{\partial y}},\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$ cùng liên tục trong miền $D$ giới hạn bởi đường cong không tự cắt trơn từng khúc $L = \partial D$.

Sau đây mình gửi tới các bạn một số bài tập.

Bài 1. Tính tích phân $\oint\limits_L {\frac{x}{y}} ds$, trong đó $L$ là cung Parabol ${y^2} = 2x$ từ điểm $\left( {1;\sqrt 2 } \right)$ đến $(2;2)$.

Bài 2. Tính tích phân $\oint\limits_L {\left( {3{x^2} + y} \right)dx + \left( {x - 2{y^2}} \right)dy} $, trong đó $L$ là biên của hình tam giác với đỉnh $A\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {1;0} \right),\,\,C\left( {0;1} \right)$.

Bài 3. Tính tích phân $\oint\limits_L {\frac{{\left( {x + y} \right)dx - \left( {x - y} \right)dy}}{{{x^2} + {y^2}}}} $, trong đó $L$ là chiều dương của đường tròn ${x^2} + {y^2} = {a^2}$.

Bạn chuyển sang hệ tọa độ cực nha

Thanks bạn nha mình có quyển đấy r ạ

Mọi người ai cho mình xin ít tài liệu về phần ma trận jordan và ứng dụng với ạ thanks