Dự đoán tỉ số đi , đêm nay Đức ăn ukaraine 2-0 :v
- baopbc yêu thích
Gửi bởi No Moniker trong 12-06-2016 - 22:50
Gửi bởi No Moniker trong 12-06-2016 - 22:43
ủng hộ TBN vô địch =)) mặc dù rất khó :'( Fan TBN+Barca ai đồng fan điểm danh nào =))
Gửi bởi No Moniker trong 26-05-2016 - 20:04
Bài toán 1 : ( VMO 2015 ) Cho số nguyên dương $k$ . Tìm số các số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^{k}$ thỏa mãn :
$i)$ $n$ là bội của $3$
$ii)$ Các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ là $2,0,1,5$
Bắt đầu bằng một bài đếm quen thuộc hi vọng các bạn không chê
Bài này chắc khá quen thuộc rồi
Xét đa thức $P(x)=(x^5+x^2+x+1)^k$
Dễ thấy tổng các hệ số của đa thức cũng bằng số các bộ $\left ( a_1,a_2,..,a_k \right )\in \begin{Bmatrix} 2;0;1;5\end{Bmatrix}^k$ bằng $4^k.$
hơn nữa số bộ số này chia hết cho 3 cũng bằng tổng hệ số $x^{3k}$ trong đa thức.
Theo định lí Ruf: $S=S=\frac{1}{3}[P(1)+P(\epsilon )+P(\epsilon^2 )]$
Gọi $\epsilon$ là nghiệm của phương trình $x^2+x+1=0$ khi đó phương trình có nghiệm phức $\epsilon_t=cos\frac{2t\pi }{3}+isin\frac{2t\pi }{3}$
Từ đây ta có $\epsilon^3=1$ do đó $1+\epsilon+\epsilon^{2k}=0$ với $k$ không chia hết cho 3 và bằng 3 với $k$ chia hết cho 3
Dễ dàng tính được $P(1)=4^k,P(\epsilon )=\epsilon^{2k},P(\epsilon^2)=\epsilon^{4k}$
Từ đây suy ra $\left\{\begin{matrix} S=\frac{4^K-1}{3},K\neq 3m\\ S=\frac{4^K+2}{3},K=3m \end{matrix}\right.,m \in \mathbb{Z}$
__________________________
Bài toán đề xuất:
$\boxed{\text{Bài toán 2}}$ : Trong một cuộc họp có $12k$ người tham gia, mỗi người bắt tay với đúng $3k+6$ người khác. Biết rằng với bất kỳ một cách chọn cặp $2$ người ta có số người bắt tay với cả hai là như nhau. Hỏi có bao nhiêu người tham gia cuộc họp đó?
$$\begin{array}{| l | l |} \hline NoMoniker & 1\\ \hline \end{array}$$
Gửi bởi No Moniker trong 21-05-2016 - 09:09
Gửi bởi No Moniker trong 20-05-2016 - 23:12
Gửi bởi No Moniker trong 10-05-2016 - 00:01
Gửi bởi No Moniker trong 30-03-2016 - 23:46
Gửi bởi No Moniker trong 30-03-2016 - 23:43
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học