anhcherry

Mình có bài tương tự nè: cho b,c là hai số khác 0 thoả mãn: 1b+1c=121b+1c=12.CMR có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm:x2+bx+c=0x2+bx+c=0(1) và x2+cx+b=0x2+cx+b=0(2). Bạn làm bài trên tương tự nhé:

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

x2+bx+c=0x2+bx+c=0(1) có Δ=b2−4cΔ=b2−4c

x2+cx+b=0x2+cx+b=0(2) có Δ=c2−4bΔ=c2−4b

Ta cần chứng minh Δ1Δ1 hoặc Δ2Δ2≥0≥0

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

Δ1=b2−4c<0Δ1=b2−4c<0 và Δ2=c2−4b<0⇒Δ1+Δ2=(b2−4c)+(c2−4b)=b2+c2−4(b+c)<0(∗)Δ2=c2−4b<0⇒Δ1+Δ2=(b2−4c)+(c2−4b)=b2+c2−4(b+c)<0(∗)

Từ giả thiết ta có 1b+1c=121b+1c=12⇔b+c=12bc⇔b+c=12bc vì b và c khác 0

Suy ra: Δ1+Δ2=b2+c2−412bc=b2+c2−2bc=(b−c)2Δ1+Δ2=b2+c2−412bc=b2+c2−2bc=(b−c)2

Như vậy Δ1+Δ2=(b−c)2≥0Δ1+Δ2=(b−c)2≥0

Điều này chứng tỏ (∗)(∗) không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra 

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm