lvx

Bạn xem chứng minh định lý phổ (spectral theorem) ở đây nhé:

https://inst.eecs.be...in/thm_sed.html

$dx^2 = 2xdx$ là cách viết kiểu lấy vi phân của $x^2$

Còn bạn hiểu nôm na đạo hàm cấp 2 nghĩa là lấy đạo hàm cấp 1 thêm một lần nữa:

$y"=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{dy'}{dx}$

Bài 1: $\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=1$

$\mathbf{1/}$ Đặt $u=\sqrt[4]{x^2+1} \geq 1\;\; v = \sqrt{x} \geq 0$, ta có pt  $\Leftrightarrow$:

$\left\{\begin{matrix} u-v=1\\ u^4-v^4=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} u-v=1\\ (u-v)(u+v)(u^2+v^2)=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (u+v)(u^2+v^2) = 1$  $(*)$

Chú ý rằng: $u\geq 1, \; v\geq 0 \rightarrow (u+v)\geq 1, \; (u^2+v^2)\geq 1$

$\rightarrow (*) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=1\\ u^2+v^2=1 \end{matrix}\right.$

Từ đó:

$\left\{\begin{matrix} u-v=1\\ u+v=1 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} u=1\\ v=0 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow x =1$

Giải bất phương trình: $ x^2-4x+m-2\leq 0 $ 

Tam thức bậc 2 có $a>0$, $x$ nằm trong khoảng 2 nghiệm.

Pt $\Leftrightarrow x^2-4x+4+m-6=0$ 

$\Leftrightarrow (x-2)^2=6-m$

Điều kiện: $m \leq 6$

Khi đó: pt $\Leftrightarrow 2-\sqrt{6-m} \leq x \leq 2+\sqrt{6-m}$ 

Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt: $ \sqrt{x^2+mx+2}=2x+1 $

 pt $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{4-m}{6} > -\frac{1}{2}\\ 3\left ( -\frac{1}{2} \right )^2+(4-m) \left ( -\frac{1}{2} \right ) -1=0 \end{matrix}\right.$

Từ đó giải ra điều kiện của $m$

Giải pt: $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $

Tách:

$ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}+x^2-x-(2x-1)=0 $

$\Leftrightarrow x^2-x=(2x-1)-\sqrt{2x-1}$

Đặt $t=\sqrt{2x-1}$, ta có:

$x^2-x=t^2-t$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t-1)=0$

Đưa về 2 pt:

$x=\sqrt{2x-1}$

hoặc:

$x+\sqrt{2x-1}=1$

Tìm các giá trị của x để $ 8x+1 $ là số chính phương.  Điều kiện: x là số nguyên

$8x+1$ là số lẻ --> nếu là số chính phương, nó là bình phương của số lẻ.

Viết dưới dạng: $8x+1=(2k+1)^2,\;\;\; k\in \mathbb{N}$

khai triển ra:

$8x+1=4k^2+4k+1$

$\Rightarrow x=\frac{k(k+1)}{2} \in \mathbb{N}$

Sorry vì spam, nãy lúc mở tab ra chưa thấy 2 bài trả lời trên của các bạn $leminhghiatt$ và $Issac\; Newton \;of\; Ngoc\; Tao$, mình nhầm rồi! Xin lỗi bạn chủ thớt nhé!

Giải phương trình:

$2/ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{(x-2)\sqrt{x-1}} = \frac{x+3}{2}$

 $\textbf{2/}$ Số hạng thứ hai, có thừa dấu ngoặc đơn $()$ không bạn?

Theo mình nghĩ nếu bài toán thế này:

 $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \frac{x+3}{2}$

Điều kiện: $x\geq 1$

Chú ý: $x+2\sqrt{x-1}=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1=(x+\sqrt{x-1})^2$

tương tự: $x-2\sqrt{x-1}=(x-\sqrt{x-1})^2$

Phương trình trở thành:

$|x+\sqrt{x-1}|+|x-\sqrt{x-1}|=\frac{x+3}{2}$

Chú ý đến điều kiện xác định: $x\geq 1$, phá dấu trị tuyệt đối, giải ra $x=1$

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi $x$ là năng suất ban đầu (số sản phẩm/giờ), $t$ là thời gian dự kiến, $S$ là tổng số sản phẩm. Theo đề bài thì:

Khi còn làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng người đó nhận thấy cứ giữ nguyên năng suất cũ thì sẽ chậm 30 phút:

$\frac{S-30}{x}+\frac{30}{x}=t+\frac{1}{2}$   $(1)$

nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm so với dự định 30 phút

$\frac{S-30}{x}+\frac{30}{x+5}=t-\frac{1}{2}$   $(2)$

Lấy $(1)$ trừ $(2)$:

$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+5}=1$

từ đó giải ra $x$

Cho ba góc x,y,z $\neq \frac{\pi }{2}$ +k$\pi$(k$\in \mathbb{Z}$). CMR: 

a) tanx+tany+tanz=tanxtanytanz+$\frac{sin(x+y+z)}{cosxcosycosz}$

b) tanxtany+tanytanz+tanztanx=1-$\frac{cos(x+y+z)}{cosxcosycosz}$

a/ Biến đổi bình thường:

$\sin(x+y+z)=\sin x \cos(y+z)+\cos x \sin (y+z)=\sin x \cos y \cos z-\sin x \sin y \sin z + \cos x \sin y \cos z+\cos x \cos y \sin z$

$\Rightarrow \frac{\sin(x+y+z)}{\cos x \cos y \cos z}=\tan x - \tan x \tan y \tan z + \tan y + \tan z$

Từ đó suy ra đ.p.c.m

b/ Phần $\textbf{b/}$ làm tương tự.

_ ĐKXĐ : $x\neq 0$

_ Ta có : 

$8(x+\frac{1}{x})^{2}+4(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-4(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})(x+\frac{1}{x})^{2}=(x+4)^{2}\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^{2}+4(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})[(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-(x+\frac{1}{x})^{2}]=(x+4)^{2}$

Chỗ này hình như đề bài có nhầm lẫn hả bạn?

Bạn đặt $t=x+\frac{1}{x}$, ta có $t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$, thay vào rồi giải hệ xem sao.

Vậy ý bạn là thay đổi ntn ???

Ảnh của ngọn nến vẫn thế, nhưng bị mờ đi, vì lượng ánh sáng qua thấu kính chỉ còn một nửa.

 Giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix} x^{2}-x+y^{2}=19 & \\ xy(x-1)(2-y)=20 & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu suy ra: $x^2-x=19-y^2$

Thế vào phương trình thứ hai: $(19-y^2)(2y-y^2)=20$ rồi giải ra theo $y$