Nobel

Đề thi vào lớp chuyên toán miền Bắc, 1972:

a) Phân tích biểu thức ra nhân tử: $A=x^3(x^2-7)^2-36x$.

b) Dựa vào kết quả câu trên hãy chứng minh biểu thức :$n^3(n^2-7)^2-36n$ luôn luôn chia hết cho $7$ với mọi số nguyên $n$.

a) Ta cần viết tích $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ thành một tích trong đó có $n$ thừa số 2. Viết tích trên thành:

$\frac{1.2.3...(2n)}{1.2.3...n}=[1.3.5...(2n-1)].\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}$

Biểu thức $\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}$ rút gọn thành $\frac{[1.2.3...n].2^n}{1.2.3...n}=2^n$.

Như vậy $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$.

b) Làm tương tự câu a:

Viết tích $(n+1)(n+2)(n+3)...(3n)$ dưới dạng:

$\frac{1.2.3...(3n)}{1.2.3...n}=[1.4.7...(3n+1)].[2.5.8...(3n+2)].\frac{3.6.9...(3n)}{1.2.3...n}$

Biểu thức $\frac{3.6.9...(3n)}{1.2.3...n}$ rút gọn thành $\frac{[1.2.3...n].3^n}{1.2.3...n}=3^n$.

Như vậy $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $3^n$.

Ở phần chữ đỏ bạn có nói là "tích trong đó có $n$ thừa số 2".Vậy sao các số trong dấu ngoặc vuông lại không có thừa số 2 vậy ?

Thêm bài nữa:

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

Lâu lâu chém phát thị uy 

Cho $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=1$

a.Cmr trong 3 số a,b,c có 1 số bằng tổng hai ssos kia.

b.Cmr trong 3 phân thức đã cho,có 1 phân thức bằng -1,hai phân thức còn lại bằng 1.

được

Bạn có đề 2015-2016 ko post lên cho mình coi vs