VermouthS

 

3)$\begin{cases}x+y+z=9\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xyz=27 \end{cases}$

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}=1\Rightarrow xy+yz+xz=27$

$x+y+z=9\Rightarrow (x+y+z)^{2}=81=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=81-2.27=27$

Vì $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+xz (=27) \Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=z$ 

Kết hợp với xyz=27 ta được (x;y;z)=(3;3;3)

Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta có ngay đpcm. 

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{(a+b)^{2}}{a+b+1+1} = 1/3$ ( do a+b=1 theo gt )

Dấu = xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

$\sqrt{x^{2}+4x+12}=\sqrt{(x-2)^{2}+8(x+1)}=2(x-2)+\sqrt{x+1}$ (1)

Đặt $x-2 = a ; \sqrt{x+1}=b$

Khi đó: $b^{2}-a=3$ $(*)$

Từ (1) suy ra: $\sqrt{a^{2}+8b^{2}}=2a+b \Rightarrow a^{2}+8b^{2}=4a^{2}+4ab+b^{2}\Leftrightarrow 7b^{2}-3a^{2}-4ab=0$

Đến đây bạn chia cả 2 vế cho $b^{2}$, đưa về phương trình bậc 2 ẩn là $\frac{a}{b}$. (Đồng bậc 2) Khi đó sẽ tính được  $\frac{a}{b}$ 

Kết hợp với $(*)$ ta giải được phương trình.

Chứng minh được trong 5 số tuỳ ý tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3.
Giả sử 2 số dư giống nhau đó là 1,1.
Trong 3 số còn lại, nếu 3 số dư của chúng là khác nhau thì chúng phải là 0,1,2 khi đó bộ 3 số dư (1;1;1) là bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Nếu 3 số dư khác nhau, tức là có ít nhất 2 số dư giống nhau, giả sử 2 số dư đó là 1;1 thì bộ (1;1;1) thỏa mãn, nếu 2 số dư đó là 2;2, số dư còn lại là 0 thì bộ (1;2;0) thỏa mãn, còn nếu số dư còn lại là 1 thì lại có bộ (1;1;1) thỏa mãn. Nếu 2 số dư đang xét ở trên là 0;0, số dư còn lại 1 thì bộ (1;1;1) thỏa mãn, số dư còn lại là 2 thì bộ (1;2;0) thỏa mãn.

Với cách xét tương tự với 2 số dư (0;0) và (2;2) ta có đpcm.

Cách làm này tuy có hơi dài nhưng không bỏ sót trường hợp nào