Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


VermouthS

Đăng ký: 28-03-2016
Offline Đăng nhập: 27-12-2017 - 22:10
***--

#647744 $\begin{cases}x+y+xy=5\\y+z+yz=11\\x+z+xz=7...

Gửi bởi VermouthS trong 03-08-2016 - 11:55

 

3)$\begin{cases}x+y+z=9\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xyz=27 \end{cases}$

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}=1\Rightarrow xy+yz+xz=27$

$x+y+z=9\Rightarrow (x+y+z)^{2}=81=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=81-2.27=27$

Vì $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+xz (=27) \Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=z$ 

Kết hợp với xyz=27 ta được (x;y;z)=(3;3;3)




#634599 6 điểm trên mặt phẳng,không có 3 điểm nào thẳng hàng.Nối các điểm các bằng mà...

Gửi bởi VermouthS trong 21-05-2016 - 22:55

 

  Xét A là một trong số sáu điểm đã cho. Khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm A với năm điểm còn lại). Vì mỗi đoạn thẳng được tô chỉ màu đỏ hoặc xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có it nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử là các đoạn AB,AC,AD và được tô cùng màu xanh. Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

 

(Bạn tự vẽ hình nhé   :D )

 

1. Nếu ít nhất một trong ba đoạn BC,BC,CD màu xanh thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này.

 

2. Nếu không phải như vậy, tức là BD,BC,CD màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là B,C,D vì tam giác BCD là tam giác với ba cạnh đỏ.




#632430 $\sum \frac{a^{2}b}{c}\geq...

Gửi bởi VermouthS trong 11-05-2016 - 10:23

Cho a,b,c > 0. CMR:

 

$\frac{a^{2}b}{c}+\frac{b^{2}c}{a}+\frac{c^{2}a}{b}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

 




#629866 Cho $a,b,c\geq 0$ $a+b+c=1$. Tìm GTLN của : $...

Gửi bởi VermouthS trong 27-04-2016 - 20:32

Cho $a,b,c\geq 0$ $a+b+c=1$. Tìm GTLN của : 

 

$P = \left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$




#628975 Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn phương trình: $x^{3}-3x^{...

Gửi bởi VermouthS trong 22-04-2016 - 20:37

Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn phương trình:

 

$x^{3}-3x^{2}+3(y^{3}+1)x-(y^{3}+1)^{2}=0$




#628970 $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2y=...

Gửi bởi VermouthS trong 22-04-2016 - 20:22

giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2y=3 & & \\ y^{2}-2z=3 & & \\ z^{2}-2x=3 & & \end{matrix}\right.$

 

 Giả sử $x\geq y\geq z$

 Ta có:

 $x^{2}-2y=3\geq y^{2}-2y \Rightarrow 4\geq (y-1)^{2} \Rightarrow 2\geq |y-1|$   (1)

 $z^{2}-2x=3\leq y^{2}-2x\leq y^{2}-2y \Rightarrow 4\leq (y-1)^{2}\Rightarrow 2\leq |y-1|$   (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra | y - 1 | = 2

Từ đây tính được y => tính được x và z. Công việc này bạn thực hiện nhé  :D  :D  :D




#628082 Chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{a^2}{x}+\...

Gửi bởi VermouthS trong 18-04-2016 - 22:11

BĐT B.C.S hay còn gọi là BĐT Bunhiacopxki được viết như sau:

 

Mình chỉ viết với 3 số, nhưng bđt này áp dụng được với nhiều số, tổng quát luôn nhé.  :D

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (ax+by+cz)^{2}$

 

Dấu = xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$




#628076 Chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{a^2}{x}+\...

Gửi bởi VermouthS trong 18-04-2016 - 22:07

Áp dụng BĐT B.C.S cho 2 bộ số:

$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})$ và $(x+y+z)$

 

=> $(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})(x+y+z)\geq (a+b+c)^{2}$

Ta có đpcm.

 

Dấu " = " của BĐT xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$




#627960 Bắt đầu từ $n=2$, hai người tuần tự cộng số $n$ đang có v...

Gửi bởi VermouthS trong 18-04-2016 - 16:20

Bắt đầu từ $n=2$, hai người tuần tự cộng số $n$ đang có với một ước nguyên dương khác $n$ bất kỳ của $n$ để có một số $n$ mới. Ai tạo được số không nhỏ hơn 2013 trước là thắng cuộc. Giả sử cả hai đều là những người chơi thông minh. Hỏi ai sẽ thắng cuộc?




#627879 $\sum (\frac{a^4}{(a+2)(b+2)})>=\frac{1}{3}$

Gửi bởi VermouthS trong 17-04-2016 - 23:23

$\frac{a^{4}}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{4}(a+2)(b+2)}{6561(a+2)(b+2)}} = 4\frac{a}{9}$

 

Tương tự như vậy ta cũng có: 

$\frac{b^{4}}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}$

 

$\frac{c^{4}}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}$

 

Cộng vế với vế ta được : 

$VT + \frac{2(a+b+c)+12}{27} + \frac{1}{3} \geq \frac{4}{9}(a+b+c)$

Từ điều kiện a+b+c = 3, ta được :

$VT \geq \frac{1}{3}$ (đpcm)

 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.




#627781 Chứng minh rằng trong các số tự nhiên đó có số xuất hiện trong bảng ít nhất 7...

Gửi bởi VermouthS trong 17-04-2016 - 18:23

Xét ô vuông 2x2. Theo giải thiết, các số được ghi thỏa mãn tính chất: bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô có chung một cạnh hoặc hai ô có chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó trong một ô vuông 2x2, chỉ có thể có nhiều nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Có 16 ô vuông như thế nên sẽ có nhiều nhất : 16.2 = 32 số chia hết cho 2 hoặc 3. 

Như vậy sẽ còn lại ít nhất 32 ô để ghi các số không chia hết cho 2 hoặc 3.

Mà trong các số tự nhiên từ 0 đến 16, chỉ có 5 số không chia hết cho 2 hoặc 3 là { 1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 }

Theo nguyên tắc Dirichle, 32 ô để ghi 5 số như vậy tồn  tại ít nhất 1 số xuất hiện 7 lần. (đpcm) 




#627598 Tìm số nguyên n sao cho $2n^{3}+n^{2}+7n+1\vdot...

Gửi bởi VermouthS trong 16-04-2016 - 21:24

Tìm số nguyên n sao cho $2n^{3}+n^{2}+7n+1\vdots (2n-1)$

$2n^{3}+n^{2}+7n+1 = n^{2}(2n-1)+n(2n-1)+4(2n-1)+5 \vdots (2n-1)$

 

=> (2n-1) là ước của 5. 

Vì n là số nguyên.

Đến đây công việc thuộc về bạn rồi  :D




#627596 Trong một hình vuông có cạnh bằng 10 cm, ta đặt 126 điểm bất kỳ đôi một phân...

Gửi bởi VermouthS trong 16-04-2016 - 21:18

Chia hình vuông ban đầu thành 25 hình vuông nhỏ có kích thước là 2x2.

Có 126 điểm và 25 hình vuông nhỏ, theo nguyên tắc Dirichle có ít nhất 6 điểm cùng nằm trong một hình vuông. 

Do bán kính của hình tròn là $\frac{10}{7}$ còn bán kính của đường tròn ngoại tiếp một hình vuông nhỏ cạnh 2 là $\sqrt{2}$ nên hình tròn này sẽ nằm ngoài hình vuông và có thể bao trọn hình vuông đó ( $\frac{10}{7}> \sqrt{2}$ )

Vậy 6 điểm này cùng nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{10}{7}$

Ta có đpcm. 




#627518 CMR: nếu a + b + c = 0 thì $a^3 + b^3+c^3 = 3 abc$

Gửi bởi VermouthS trong 16-04-2016 - 17:24

a. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt các số hạng, ta có:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

 

Vậy nếu a+b+c = 0 thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$ <=> đpcm.

 

b. Theo phần a, ta có:

$xy+yz+xz=0 \Leftrightarrow x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}+z^{3}x^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}$

 

Quy đồng biểu thức A, ta được A=3.




#627507 CMR: $\sqrt[3]{4(x+y)(y+z)(z+x)-5xyz} \geq \sqr...

Gửi bởi VermouthS trong 16-04-2016 - 16:46

Cho x,y,z > 0. CMR:

$\sqrt[3]{4(x+y)(y+z)(z+x)-5xyz} \geq \sqrt{3(xy+yz+xz)}$