VermouthS

 

 

Bài 3 :

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh : 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

 

 

Đặt x = b+c-a, y = a+c-b, z = a+b-c

=> $a=\frac{y+z}{2}, b=\frac{x+z}{2}, c=\frac{x+y}{2}$

$A = \frac{2y+2z}{x} + \frac{9x+9y}{2y} + \frac{8x+8y}{z}=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})\geq 2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26$

Dấu bằng xảy ra khi $9x^{2}=4y^{2},8x^{2}=2z^{2},16y^{2}=9z^{2}\Leftrightarrow a:b:c=7:6:5$

Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình:

$(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3}$

Tìm số tự nhiên x biết:

$\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}=x$

Xin lỗi mọi người! Bài này khó hơn mình tưởng !

 

Quyết định: Treo thưởng 10 likes cho ai giải được bài này trong 3 ngày!

 

(Chỉ sử dụng phương pháp phổ thông)

Vậy thì mình xin được giải nhé, vì mình cũng chỉ vừa mới giải được bài toán này ngày hôm qua     

Nếu ai có cách làm khác thì cho mình tham khảo nhé.

Ta có:

 bc + cd + db + 1 = (b+d)c + (d-1)(b-1) + d + b $\geq$ (b+d)c + d + b $\geq$ (b+d)(a+c)

Như vậy:

$VT \leq \frac{a+b+c+d}{(a+c)(b+d)} \leq \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+d}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}\leq \frac{3}{4}+\frac{4}{(a+c)^{2}(b+d)^{2}} ( \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{abcd} )$

Thật vậy, BĐT <=> $x+y \leq \frac{3}{4}+4x^{2}y^{2} (x,y\geq \frac{1}{2})$

                      <=> $16x^{2}y^{2}-4x-4y+3\geq 0 \Leftrightarrow (4xy-1)^{2}+2(2x-1)(2y-1)\geq 0$ (Đúng)

BĐT được chứng minh hoàn toàn. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1.

Giải hệ phương trình:

1.

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt[4]{32-x} -y^{2} + 3=0 & \\ \sqrt{32-x} +\sqrt[4]{x} +6y=24 & \end{matrix}\right.$

2.

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+2x^{2}+3y-15=0 & \\ x^{4}+y^{2}-2x^{2}-4y-5=0 & \end{matrix}\right.$

3.

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}+xy=1 & \\ 3x+y=y^{2}+3 & \end{matrix}\right.$

4.

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y^{2}} +\sqrt{2xy} = 8\sqrt{2} & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 & \end{matrix}\right.$

Với $a,b,c> 0$ và $a\neq b\neq c$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)}{a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)}\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Cho $a,b,c,d \in [0;1]$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{bc+cd+db+1} +\frac{b}{cd+da+ac+1} + \frac{c}{da+ab+bd+1} + \frac{d}{ab+bc+ca+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$

1. Cho $a,b,c\geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 $  T = a + b + c + ab + bc + ca - 3abc. $

2. Cho $a,b,c\geq 1$. Xác định giá trị lớn nhất của:

  T = $\frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1}$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng: 

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+bc}} + \sqrt{\frac{c+a}{b+ac}} \geq 3$