vamath16

4b
dể cm MOQP nội tiếp.
gọi S trung điểm OI. =>> S là tâm (MAIBO).
=>>gMSP=1/2gMSA=gMBA=gMOB=gMOP =>> S thuộc (MOQP).
=>> tâm ngoại tiếp của (MPQ) thuộc trung trực OS cố định.
 

B2
BI là trung trực FG =>> FI=GI.
ta có gFBG=2gHFC( tiếp tuyến)
=>> gFBI=gIBE=gFCH
=>> IF=IE=CH=IG
=>> FICH, IECH là hình thang cân
ta có IC \\ GH và IG=CH =>> ICHG là hbh.
gọi T là giao của IH và GC =>> T là trung điểm của GC và TH.
xét tam giác GZC có YT \\ ZC và T là trung điểm GC =>> Y là trung điểm GZ =>> GY=GZ 
+) ta cm XG=GY
ta có MT vuông góc IH ( dó MT \\ BG mà BG vuông góc AC, AC \\ IH)
=>> GYTM nội tiếp =>> gGYM=gGTM.
dễ dàng có XGMD nội tiếp =>> gGXM=gGDM.
ta sẽ cm gGDM=gDTM <=> gGDB=gMTC
<=> tam giác GBD đồng dạng tam giác CBG ( dễ dàng cm với BF^2=FB^2=BD.BC nên có đpcm)

cho tam giác ABC không cân tại A. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại D. Điểm M thuộc đoạn AD. Đường thẳng MB cắt (I) ở X,Y(BX<BY) ;đường thẳng MC cắt (I) ở  Z,T (CZ<CT). chứng minh BC, XZ, TY đồng quy

$\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2) & \\ p^2-1=2y(y+2)& \end{matrix}\right.$
p/s:cần gấp

bạn kiểm tra lại xem đề có đúng ko ?

ta có $0=a-b+b-c+c-a=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a} \Rightarrow \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}$

ta cần cm

$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \right )$

thật vậy, áp dụng Bunhia  $\sum (\frac{\sqrt{a+b}.\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{a+b}})^2\leq \left ( a+b+c \right ).(\sum \frac{a^2+b^2}{a+b})$

ta dễ dàng cm được $\left ( a+b+c \right )\leq \sum \frac{a^2+b^2}{a+b}$

=> đpcm

đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$

ta có $xyz=1$

thay $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ vào VT ta có

$\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+4}+\frac{y^2}{y^2-2y+4}+\frac{z^2}{z^2-2z+4}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+12}=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+12}\geq \frac{x^2+y^2+z^2+6}{x^2+y^2+z^2+6}=1$( đùng bđt cô si và xyz=1)

=> đpcm

đặt $\sqrt[3]{x}=a$

       $\sqrt{x+3}=b (b\geq 0)$

ta có hệ

   a+b=3

   a^3-b^2=0

thế vào tìm a,b rồi tìm x

$x^2-2xy+2y^2+8x-8y+7=0\geq x^2-2xy+y^2+8x-8y+7=(x-y+7)(x-y+1) \Rightarrow 0\geq (x-y+7)(x-y+1)$

giải ra ta được

$-1\geq x-y\geq -7 \Leftrightarrow 2\geq x-y+3\geq -4$

vậy  F(max)=2

           có dấu '=' khi y=0; x=-1

       F(min)=-4

            có dấu = khi  y=0; x=-7

áp dụng bđt cô si ta có

$x^{6}+y^{4}\geq 2x^{3}y^{2}$

suy ra

$\frac{2x}{x^{6}+y^{6}}\leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}$

cm tương tự rồi cộng 3 cái vế theo vế ta có

$\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4} \leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}$

đến đây áp dụng bđt $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$$

ta có

$\frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}$(suy ra đpcm)

P/s:bạn học lớp mấy vậy mình 8 lên 9 có gì trao đổi nha

mình mới tập gõ

$2xy\leq x^{2}+y^{2} \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}+2xy}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} chứng minh tương tự cộng vế theo vế ta có đpcm$

n=3;p=13