frozen2501

$2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-1 \right )-(2y^{2}x-2y^{2})+(xy-y)=x$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+1-2y^{2}+y)=x$

Nếu x-1=0 => y=1

Nếu $x-1\neq 0$

$\Leftrightarrow x+1-2y^{2}+y=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$

=> x-1 là ước của 1 

Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình 

+ Chứng minh tam giác MBC đồng dạng với tam giác NDC (g.g)

+ Suy ra MC/NC = BC/DC => MC/NC = AD/DC

+ Chứng minh góc ADC = góc MCN ( vì $\widehat{MCN}+\widehat{MAN}=180^{\circ}$ và $\widehat{ADC}+\widehat{MAN}=180^{\circ}$)

+ Từ đó suy ra tam giác ADC đồng dạng với tam giác MCN => Đpcm

3a) Ta có $\frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{(b+c)^{2}-a^{2}-2bc}$

$=\frac{1}{(-a)^{2}-a^{2}-2bc}$ ( vì a+b+c=0 )

$=\frac{1}{-2bc}$

cmtt ta có $P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}$

=> $P=\frac{a}{-2abc}+\frac{b}{-2abc}+\frac{c}{-2abc}$

=> $P=\frac{a+b+c}{-2abc}=0$

Vậy P=0

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$

$<=> 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab+2bc+2ca $

$<=> (a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=0$

$<=> (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$

=> đpcm

câu 2: với $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}$

cm $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ và $a^{2}+1\geq2a$

=> $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}$$\leq \frac{a}{2ab+2a+2}$$\leq \frac{a}{2\left ( ab+a+1 \right )}$

cmtt suy ra dpcm

Ps: bài này là đề thi hsg lớp 8 của huyện mk năm ngoái