frozen2501

Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}+\frac{b^{3}}{(2b^{2}+c^{2})(2b^{2}+a^{2})}+\frac{c^{3}}{(2c^{2}+a^{2})(2c^{2}+b^{2})}$$\leq \frac{1}{3}$

3a) Ta có $\frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{(b+c)^{2}-a^{2}-2bc}$

$=\frac{1}{(-a)^{2}-a^{2}-2bc}$ ( vì a+b+c=0 )

$=\frac{1}{-2bc}$

cmtt ta có $P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}$

=> $P=\frac{a}{-2abc}+\frac{b}{-2abc}+\frac{c}{-2abc}$

=> $P=\frac{a+b+c}{-2abc}=0$

Vậy P=0

a) $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ trong đó p là nửa chu vi tam giác

b) $S=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}$ trong đó r là bán kính đường tròn bàng tiếp của tam giác

câu 2: với $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}$

cm $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ và $a^{2}+1\geq2a$

=> $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}$$\leq \frac{a}{2ab+2a+2}$$\leq \frac{a}{2\left ( ab+a+1 \right )}$

cmtt suy ra dpcm

Ps: bài này là đề thi hsg lớp 8 của huyện mk năm ngoái

Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường là x. 
Độ dài quãng đường AB là: S = v.t = 40x 
Nửa quãng đường là S/2 = 40x/2 = 20x. 
Nửa quãng đường đầu đi vs vtốc dự định (40km/h) 
=> Thời gian đi hết nửa quãng đường đầu là: t1 = S : v1 = 20x : 40 = 1/2x 
Nửa quãng đường đầu đi vs vtốc tăng hơn dự định 10km/h (50km/h) 
=> Thời gian đi hết nửa quãng đường sau là t2 = S : v2 = 20x : 50 = 2/5x 
Tổng thời gian đi hết quãng đường là: t = t1 + t2 = 1/2x + 2/5x = 9/10x 
Do thực tế đến B sớm hơn dự kiến 1h nên ta có: x - 9/10x = 1 => x = 10 (h) 
=> Độ dài quãng đường AB là S = 40.10 = 400 (km). 

Không biết cách m làm có đúng vs ý bn ko? Bạn thử làm với cách đặt độ dài xem sao? 

Cho mk hỏi còn giả thiết cho 60km thì mk dùng ntn

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 16$

1) Chứng minh rằng với mọi $x,y\in R$, ta luôn có $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}$

2) Cho a+b+c=9 và a,b,c>0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                       $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

ps:     

G/sử tất cả chúng là hợp số .Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni ( i=1;2;3..;15). Gọi p là số lớn nhất trong các số p1,p2,…,p15 . Do các số n1,n2,…,n15 đôi một nguyên tố cùng nhau nên các số p1,p2,…,p15 khác nhau tất cả.
Số nguyên tố thứ 15 là số 47, ta có $p\geq 47$
Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì $p\leq \sqrt{n}$
Suy ra $n\geq p^{2}\geq 47^{2}> 2004$ , vô lý

Vậy trong 15 số n1,n2,…,n15 tìm được một số nguyên tố.

 Cho x,y,z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng $\left ( x-y \right )^{5}+\left ( y-z \right )^{5}+\left ( z-x \right )^{5}$ chia hết cho $5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )$

Bài 1: 

   1, Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2015& & \end{matrix}\right.$

Tính $A=a^{4}+b^{4}+c^{4}$

   2, Cho a+b+c=2 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. Chứng minh rằng: $0\leq a\leq \frac{4}{3},0\leq b\leq \frac{4}{3},0\leq c\leq \frac{4}{3}.$.

Bài 2: Cho đa thức $C=\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )+xyz$

a) Phân tích C thành nhân tử.

b) Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số nguyên và x+y+z chia hết cho 6 thì C-3xyz chia hết cho 6.

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) $x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+x+6=0$

b) $x^{3}+y^{3}+4\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4\left ( x+y \right )=16xy$ (với x,y nguyên dương)

Bài 4: 

1) Cho tam giác nhọn ABC, 3 đường phân giác cắt nhau tại I, BC=a, AC=b, AB=c. Chứng minh rằng:

                                       $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ca}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$

2) Cho hình bình hành ABCD. Qua điểm S ở trong hình bình hành kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tại M và P. Qua S kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CC tại N và Q. Chứng minh ba đường thẳng AS, BQ, DP đồng quy.

Bài 5)

   a) Cho x,y,z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng $\left ( x-y \right )^{5}+\left ( y-z \right )^{5}+\left ( z-x \right )^{5}$ chia hết cho $5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )$

   b) Cho a,b,c và a-b là các số khác 0 thỏa mãn:

                                            $\left ( a^{2}-bc \right )\left ( b-abc \right )=\left ( b^{2}-ac \right )\left ( a-abc \right )$

Chứng minh rằng: $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $\left ( x^{2}-x+2 \right )^{2}+\left ( x-2 \right )^{2}$

b) $6x^{5}+15x^{4}+20x^{3}+15x^{2}+6x+1$

Bài 2:

   a)Cho các số nguyên $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$. Đặt S=$a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{n}^{3}$ và P=$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$.

Chứng minh rằng S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.

   b)Cho A=$n^{6}-n^{4}+2n^{3}+2n^{2}$ (với n$\in$N, n>1). Chứng minh rằng A không là số chính phương.

Bài 3: 

a)Giải phương trình nghiệm nguyên $8^{2}-3xy-5y=25$

b)Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $A=n.4^{n}+3^{n}\vdots 7$

c) Biết xy = 11 và $x^{2}y+xy^{2}+x+y=2015$. Hãy tính: $x^{2}+y^{2}$

Bài 4: Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thỏa mãn: $\frac{x^{2}-yz}{a}=\frac{y^{2}-zx}{b}=\frac{z^{2}-xy}{c}$.

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}-bc}{x}=\frac{b^{2}-ca}{y}=\frac{c^{2}-ab}{z}$

tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x^2 + y^2 +1)^2 -5x^2 -4y^2 -5=0