lehakhiem212

Dùng bđt  Cauchy–Schwarz

$(a+b^{2})(a+1)=(\sqrt{a}^{2}+b^{2})(\sqrt{a}^{2}+1^{2})\geq (a+b)^{2}$

=>$\frac{1}{a+b^{2}}\leq \frac{1+a}{(a+b)^{2}}$

Xây dựng thêm một bđt nữa rồi cộng vào

B$\leq \frac{2+a+b}{(a+b)^{2}}\leq \frac{2(a+b)}{(a+b)^{2}}=\frac{2}{a+b}\leq 1$

Dấu = khi a=b=1

mình giải như vậy không biết có đúng không

Kẻ CK//DE,BH//DE (K$\epsilon$AB,H$\epsilon$AC)

DE, CK, BH cắt trung truyến AM tại I,F,N.

Theo định lý Ta-lét

$\frac{AB}{AD}=\frac{AN}{AI}$

$\frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AI}$

=> 2016=$\frac{AN+AF}{AI}$ (1)

Mặt khác: MB=MC,CF//BN

=>MF=MN

(1)=>2016=$\frac{2AM}{AI}$

=>AI=$\frac{AM}{1008}$

Mà AM cố định nên I cố định

=>Đpcm

Ta có: $1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

A=$(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{9}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}} +\frac{9}{2xy}\geq \frac{4}{1}+\frac{9}{2.\frac{1}{4}}=22$

Dấu = khi x=y=1/2

Gọi giao điểm của BO và AC là H

Ta có : AB=BC=4$\sqrt{3}$,OA=OC

=> BO là đường trung trực của AC

=>HO là đường trung bình tam giác ACD

=>HO=$\frac{1}{2}$CD=2

Theo định lý Pytago

$CH^{2}=BC^{2}-BH^{2}=48-(R-2)^{2}$

$CH^{2}=CO^{2}-HO^{2}=R^{2}-4$

Ta có phương trình: $R^{2}-4=48-(R-2)^{2}$

Giải được R=6

Dự đoán dấu = xảy ra khi x=1,y=2

Ta có: $A=\frac{4y}{3.2x.y.y}+\frac{3}{\sqrt{3.(y+1)}}\geq \frac{4y}{3.\frac{(2x+y+y)^{3}}{27}}+\frac{3}{\frac{3+y+1}{2}}=\frac{9.4y}{8.(x+y)^{3}}+\frac{6}{y+4}\geq \frac{9.4y}{8.3^{3}}+\frac{6}{y+4}=\frac{y}{6}+\frac{6}{y+4}=\frac{y+4}{6}+\frac{6}{y+4}-\frac{2}{3}\geq 2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

Bài toán đã được giải quyết

Đặt biểu thức đã cho là A

Ta có : $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}= \frac{a}{(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+1)+2}\leq \frac{a}{2ab+2a+2}$

$=>2A\leq \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ba}{abc+ab+a}+\frac{abc}{a^{2}bc+abc+ab}=\frac{ab+a+1}{ab+b+1}=1 \rightarrow A\leq \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi a= b= c=1