ngocminhxd

tìm tất cả các stn n sao cho n chia hết cho [$\sqrt{n}$]

Cho $a,b,c \ge 0$ thõa mãn $a+b+c=3$. Tìm $\max$ biểu thức sau

$$P=\frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+c}+\frac{c^2}{2(c+1)^2+a}$$

$P=\frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+c}+\frac{c^2}{2(c+1)^2+a}\leq \frac{a^2}{8a+b}+\frac{b^2}{8b+c}+\frac{c^2}{8c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{8a+b+8b+c+8c+a}= \frac{1}{3}=> P_{max}=\frac{1}{3}<=>a=b=c=1$

tớ biết giải rồi nè

$A=\frac{2(a+b)^{2}}{2a+3b}+\frac{(b+2c)^{2}}{2b+c}+\frac{(2c+a)^{2}}{c+2a}$

áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng tử ta được

$A\geq \frac{8ab}{2a+2b}+\frac{8bc}{2b+c}+\frac{8ca}{c+2a}=8B(B=\frac{ab}{2a+2b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{c+2a})$

$B=\frac{ab}{2a+2b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{c+2a}$

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$

=>$B=\frac{1}{3x+2y}+\frac{1}{2z+y}+\frac{1}{2z+x}\geq \frac{9}{4x+4z+3y}$

mặt khác $\frac{ac(b-1)}{b(a+c)}=\frac{4}{3}=>4x+4z+3y=3$=>$=>B\geq 3=>A\geq 24$

vậy A đạt GTNN là 24 khi và chỉ khi a=b=5,c=5/2

http://diendantoanho...mns-abc-frac12/ ai vào giải giúp bài hình với ạ

1. $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})<=>y\frac{x+z}{xz}+\frac{x+z}{y}\leq \frac{(x+z)^{2}}{xz}=>\frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\leq \frac{x+z}{xz}=>yx+yz-xz-y^{2}\geq 0 => (y-x)(z-y)\geq 0$ (luôn đúng do $z\geq y\geq x> 0)$

tớ có cách giải bài 2 khác nek

$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} =>abc=\frac{1}{xyz}=1$

$x+y= c(a+b),y+z=a(b+c),z=b(a+c)$

$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$ $=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (cái này đã cmđ)

1, $a^{2}+1\geq 2a,b^{2}+1\geq 2b =>a^{2}+b^{2}\geq 2$

$a^{4}+1\geq 2a^{2},b^{4}+1\geq 2a^{2}=>a^{4}+b^{4}\geq 2$

Bài 5. Đặt $t=x^{2}-9x+14$
$(x-1)(x-4)(x-5)(x-8)=[(x-1)(x-8)][(x-4)(x-5)]=(x^{2}-9x+8)(x^{2}-9x+20)=(t-6)(t+6)=t^{2}-36\Rightarrow (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+37=t^{2}-36+37=t^{2}+1> 0$

Bài 1. Ta có $(a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2\geq 0 \Rightarrow 3a^{2}+3b^{2}-2ab-2a-2b+3\geq a^{2}+b^{2}+1\Rightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3\geq a^{2}+b^{2}+1 +2a+2b+2ab\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+1)\geq (a+b+1)^{2}$

Bài 2. Ta có $-2\leq a\leq 3=>(a+2)(3-a)\geq 0=>a+6\geq a^{2}$
tương tự ta có $b+6\geq b^{2}$
$c+6\geq c^{2}$
cộng từng vế ta có đpcm

thầy tớ chỉ thế này nek còn 1 cái nz tớ chưa lm ra cậu xem thử nha

$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

đặt $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=a^{2}(a> 1)$

=>$6n(n+1)(2n+1)=36a^{2}=>(6n^{2}+6n)(2n+1)=36a^{2}$

Gọi d là UCLN$(6n^{2}+6n,2n+1)=>d\in(1,3)$

d=1=>$6n^{2}+6n,2n+1$ là 2 số chính phương và 2n+1 là số chính phương lẻ lớn hơn 3

2n+1=9=>n=4=>$6n^{2}+6n=120$ không là số chính phương (loại)

2n+1=25=>n=12=>$6n^{2}+6n=936$ không là số chính phương (loại)

2n+1=49=>n=24=>$6n^{2}+6n=60^2 là số chính phương

vì n nhỏ nhất nên chọn n=24

d=3 chứng minh n>24 cơ mak tớ chưa chứng minh được

cho 2 phương trình $$ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$$ và $mx^{2}+nx+p=0(m\neq 0)$

CMR nếu ít nhất 1 trong 2 phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm

$(an-mb)x^{2}+2(ap-mc)x+bp-nc=0$

Cho (O). Vẽ 2 dây AB và EF cắt nhau tại I( I nằm trong đường tròn). Gọi M là trung điểm BF, Mi cắt AE tại N . Chứng minh $\frac{AN}{NE}=\frac{AI^{2}}{EI^{2}}$

đặt a+b=x,b+c=y,c+a=z

=>a+b+c=$\frac{x+y+z}{2}=>a=\frac{y+z-x}{2}$

tt ta có $b=\frac{z+x-y}{2}$$

$c=\frac{y+x-z}{2}$$

ta có $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)\geq \frac{3}{2}(a+b+c)=> (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)\geq \frac{9}{2} =>\frac{a^{2}+ab+ac}{b+c}+\frac{ab+b^{2}+bc}{a+c}+\frac{ac+bc+c^{2}}{a+b}\geq \frac{9}{2}=>\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}+a+b+c\geq \frac{9}{2}=>\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

có 100 cây kẹo trên bàn. hai bạn bốc lần lượt k cây ($1\leqslant k\leq 3$) cho đến hết. Người nào bốc được cây cuối cùng là người chiến thắng. Hỏi bạn nào nắm chắc phần thắng và thủ thuật là gì?

giải pt $x^{3}+x^2+x=\frac{-1}{3}$