ILuVT

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa
mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.$ CMR:
$\frac{x}{x^{2}+y+z}+\frac{y}{x+y^{2}+z}+\frac{z}{z+y+z^{2}} \leq 1$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.

CMR

    $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$ 

do a,b,c > 0. áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương ta có:
$a^{2} + \sqrt{a} + \sqrt{a} \geq 3\sqrt{a^{3}}=3a\\ tương tự \Rightarrow b^{2} + \sqrt{b} + \sqrt{b} \geq 3b\\ c^{2} + \sqrt{c} + \sqrt{c} \geq 3c\\ cộng vế vs vế a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \geq 3(a+b+c)\\ \Rightarrow 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c}\geq 9 - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 9 - (a+b+c)^{2} + 2ab + 2bc + 2ac = 2ab + 2bc + 2ac$\\
chia 2 vế cho 2 => đpcm

$$t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow \left | t \right |= \left |x + \frac{1}{x}\right | = \left | x \right |+\frac{1}{\left | x \right |} \geq 2$$
(do x và 1/x luôn cùng dấu)

$\forall$ x, y $\neq$ 0. CMR: 
$\frac{2x^{2}}{y^{2}} + \frac{2y^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 \geq 0$