Math Huynh

đây

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{3b-d},a.c\neq 0$.

Chứng minh rằng $b^{2}=d^{2}$.

(Đề tuyển sinh trường PTNK năm 2009 - 2010)

Bài 4  : (3,0đ)

   1. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} ax+by=5 & & \\ bx+ay=5 & & \end{matrix}\right.$

     (a, b nguyên dương và $a\neq b$)

     Tìm a, b để hệ có nghiệm (x, y) với x, y là các số nguyên dương.

   2. Chứng minh không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa hệ : $\left\{\begin{matrix} x^{2}-3xy+3y^{2}-z^{2}=31 & & \\ x^{2}+xy+8z^{2}=100 & & \end{matrix}\right.$

Bài 4 :

   1) $\left\{\begin{matrix} ax+by=5 & & \\ bx+ay=5 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-b)x+(b-a)y=0 & & \\ bx+ay=5 & & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-b)(x-y)=0 & & \\ bx+ay=5 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y(a\neq b) & & \\ (a+b)y=5 & & \end{matrix}\right.$

$(a+b)y=5$. Do a, b, y là các số nguyên dương nên $a+b>1$

$\Rightarrow a+b=5$ (5 = 1.5 (chọn) ; 5 = -1.(-5))

Vậy $\left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right.;\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right.;\left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.;\left\{\begin{matrix} a=4 & & \\ b=1 & & \end{matrix}\right.$

   2) Giả sử tồn tại các số nguyên x, y, z thòa hệ :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-3xy+3y^{2}-z^{2}=31 & & \\ x^{2}+xy+8z^{2}=100 & & \end{matrix}\right.\\\Rightarrow 3(x^{2}-3xy+3y^{2}-z^{2})+(x^{2}+xy+8z^{2})=3.31+100\\\Rightarrow 4x^{2}-8xy+9y^{2}+5z^{2}=193\Rightarrow (2x-2y)^{2}+5(y^{2}+z^{2})=193$ (1)

Ta có : $[5(y^{2}+z^{2})]\vdots 5\Rightarrow 5(y^{2}+z^{2})$ có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 mà theo (1)

$\Rightarrow (2x-2y)^{2}$ có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8. Vô lí ! Vì $(2x-2y)^{2}$ là số chính phương không bao giờ tận cùng bằng 3 hoặc 8

Vậy không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa hệ : $\left\{\begin{matrix} x^{2}-3xy+3y^{2}-z^{2}=31 & & \\ x^{2}+xy+8z^{2}=100 & & \end{matrix}\right.$

$x^{2}\\d_1$

thế này là sao vậy thầy, em không tải được :