meathmenmen

Cho tam giác $ABC$ nhọn,không cân ( $AB>BC$ ) và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $P$. Gọi $D$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BP$; $E$ là giao điểm của các đường thằng $BP$ và $AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CED$ cắt đường tròn $(O)$ ở $F$( $F$ khác $C$ ).

1. Chứng minh rằng các điểm $A$,$D$,$F$,$P$ cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Chứng minh rằng $FC$ ⊥ $FM$.

3. Đường thẳng $PF$ cắt lại đường tròn $(O)$ ở $N$. Chứng minh rằng $CA.CF=2NC.MF$.

Cho phương trình $x^{2}+ax+b=0$ ( x là ẩn; a,b là các tham số ) có 2 nghiệm thực khác nhau. Chứng minh rằng phương trình $x^{4}+ax^{3}+(b-2)x^{2}-ax+1=0$ có 4 nghiệm thực khác nhau. 

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}$