Lareadx

Ta cần tìm n sao cho $n^{5}+n^{4}+1$=$p^{k}$ ($p$ là số nguyên tố)

Ta có: $n^{5}+n^{4}+1=n^{5}+n^{4}+n^{3}-n^{3}+n^{2}-n^{2}+n-n+1=n^{3}(n^{2}+n+1)-n(n^{2}+n+1)+n^{2}+n+1=(n^{3}-n+1)(n^{2}+n+1)$

Xét trường hợp $n>2$:

Dễ thấy $n^{3}-n+1>n^{2}+n+1$

Mặt khác $n^{3}-n+1=(n-1)(n^{2}+n+1)-(n-2)$ không chia hết cho $n^{2}+n+1$ (vì $n-2$< $n^{2}+n+1$)

Vậy $n^{2}+n+1=1$ $\Leftrightarrow n=0$( loại vì $n>2$)

Xét trường hợp $n\leq 2$, thử trực tiếp: Với $n=1,n=2$ thỏa mãn

Vậy $n=1,2$ là số thỏa mãn đề bài

Điều kiện đề bài : $\Leftrightarrow p(a^{n} + b^{n})=a^{n}b^{n} \Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a\vdots p , b\vdots p(1).  Mặt khác:  a^{n}b^{n}\vdots p\Rightarrow a^{n}b^{n}\vdots p^{n}\Rightarrow p(a^{n}+b^{n})\vdots p^{n}\Rightarrow a^{n}+b^{n} \vdots p .Từ (1) \Rightarrow a\vdots p;b\vdots p$$\Rightarrow \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{a^{n}}, \frac{1}{p^{n}}\geq \frac{1}{b^{n}}\Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\leq \frac{2}{p^{n}}\Rightarrow 2\geq p^{n-1}\Rightarrow n=1,2$ 

Mình làm thử, không biết đúng không, nếu sai mong các bạn sửa giúp

S $\equiv$ -1 mới đúng chứ bạn

Bài này không khó đâu, bạn thử chứng minh đi.
Đây là hai gợi ý:
i) $\left\lfloor a \right\rfloor + \left\lfloor b \right\rfloor \le \left\lfloor a + b\right\rfloor$
ii) $\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}} < 1$

Đặt v₂(n!)=a, theo công thức Legendre: v₂(n!)=$\left [ n/2 \right ]+...+\left [n/2^{x} \right ]$ (1)

Theo i thì (1)= a = $\leq$ $\left [ n/2+...+n/2^{x} \right ]$ $\leq$ n/2+...+n/$2^{x}$ = $n(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{^{x}}})$ < n (theo ii)

Vì số mũ lớn nhất của 2 trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n! < n  $\Rightarrow$ đpcm

Bài này không khó lắm. Dĩ nhiên $b^{2} + a - 1 \neq 1$.
Giả sử ngược lại, $b^{2} + a - 1 = p^{n}$ với $p \in \mathbb{P}$
Ta có $p^{n}\mid (a - b)(a + b - 1)$
Nếu $p\mid a - b$ và $p\mid a + b - 1$ thì suy ra $p\mid 2a - 1$, mặt khác, $p\mid a - b$ và $p\mid b^{2} + a - 1$ nên $p\mid a^{2} + a - 1 \implies p\mid (2a - 1)^{2} + 4(2a - 1) - 1 \implies p\mid 1$. Vô lí.
Do đó ta chỉ cần xét hai TH:
TH1. $p^{n}\mid |a - b|$, do $b^{2} + a - 1 > |a - b|$ nên $a = b$
TH2. $p^{n}\mid a + b - 1$, dĩ nhiên $b^{2} + a - 1 \ge a + b - 1$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $b = 1$, vô lí.

Mai thi công nghệ mà giờ vẫn làm toán =))

chỗ màu đỏ phải là b²+b-1 chia hết cho p nên chỗ màu xanh đổi lại thành 2b-1 chia hết cho p