Đến nội dung

MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

Đăng ký: 09-04-2016
Offline Đăng nhập: 10-07-2016 - 11:17
*****

Trong chủ đề: Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

10-07-2016 - 11:09

 Lời giải:
 
 1) Ta có:
 
$5\leq \frac{(y+z)^{2}}{4}+x(y+z)=\frac{(4-x)^{2}}{4}+x(4-x)$
 
$\Leftrightarrow 3x^{2}-8x+4\leq 0$
 
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq 2.$
 
 Kết luận:
 
 * Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{2}{3}$, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}).$
 
 * Giá trị lớn nhất của P là $2$, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(2;1;1).$
 
 
 2) Ta có:
 
$Q=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$
 
$ =3xyz+4.$
 
 Tương tự ở 1) ta có $\frac{2}{3}\leq y,z\leq 2$, suy ra:
 
 * $(x-\frac{2}{3})(y-\frac{2}{3})(z-\frac{2}{3})\geq 0$
 
   $\Leftrightarrow xyz\geq \frac{50}{27}.$
 
 * $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$
 
   $\Leftrightarrow xyz\leq 2.$
 
 Từ đó, ta có:
 
$\frac{86}{9}\leq Q\leq 10.$
 
 Kết luận:
 
 * Giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{86}{9}$, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{2}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3})$ hoặc các hoán vị.
 
 * Giá trị lớn nhất của Q là $2$, đạt tại $(x,y,z)=(2,1,1)$ hoặc các hoán vị.
 
 
 P/S:
 
 Lời giải hoàn toàn tương tự với những ý tưởng đã nêu.

Trong chủ đề: Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

10-07-2016 - 06:33

 Bài toán 3:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}x+y+z=4 \\ xy+yz+zx=5 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
1) $P=x$.
 
2) $Q=x^{3}+y^{3}+z^{3}.$

Trong chủ đề: Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

09-07-2016 - 17:32

 Lời giải:
 
 
 1. Ta có:
 
 $P=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$
 
 $ =t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}.$
 
 Với $t=x+y+z.$
 
 2. Từ giả thiết, ta có:
 
 $\frac{3}{2}=z(x+y)+xy\geq 2z\sqrt{xy}+xy=\sqrt{z}+\frac{1}{4z}$
 
 $\Leftrightarrow 4z\sqrt{z}-6z+1\leq 0$
 
 $\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq z\leq \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$
 
 Đánh giá tương tự cho x và y.
 
 
 3. Từ đó ta có:
 
 1) $(x-\frac{1}{4})(y-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{4})\geq 0$
 
 $\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{9}{4}.$
 
 2) $(x-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(y-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(z-\frac{2+\sqrt{3}}{2})\leq 0$
 
 $\Leftrightarrow x+y+z\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
 
 
 4. Khảo sát hàm $f(t)=t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}$ trên đoạn $[\frac{9}{4};\frac{3\sqrt{3}}{2}]$,  ta tìm được Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P (=f(t))$:
 
 1) $Min P=\frac{129}{64}$, đạt tại $(x,y,z)=(1;1;\frac{1}{4})$ hoặc các hoán vị.
 
 2) $Max P=\frac{6+27\sqrt{3}}{8}$, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{2+\sqrt{3}}{2})$ hoặc các hoán vị.
 
 
 P/S:
 
 Ý số 3 trong lời giải trên là một trong những ý tưởng được sử dụng thường xuyên cho các bài toán tiếp theo.

Trong chủ đề: Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

09-07-2016 - 07:56

 Bài toán 2:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}xy+yz+zx=\frac{3}{2} \\ xyz=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
 
$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}.$

Trong chủ đề: Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

08-07-2016 - 20:24

 Bổ sung:
 
 Với yêu cầu đề bài, ta không cần chỉ ra bộ $(x,y,z)$ sao cho z đạt GTNN là 1 hay GTLN là $\frac{7}{3}$.
 
 Nhưng, dễ thấy:
 
1) $z=1$ khi và chỉ khi $x=y=2$.
 
2) $z=\frac{7}{3}$ khi và chỉ khi $x=y=\frac{4}{3}$.

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: MathematicsNMN2016