Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


MathematicsNMN2016

Đăng ký: 09-04-2016
Offline Đăng nhập: 10-07-2016 - 11:17
*****

#644334 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 10-07-2016 - 11:09

 Lời giải:
 
 1) Ta có:
 
$5\leq \frac{(y+z)^{2}}{4}+x(y+z)=\frac{(4-x)^{2}}{4}+x(4-x)$
 
$\Leftrightarrow 3x^{2}-8x+4\leq 0$
 
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq 2.$
 
 Kết luận:
 
 * Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{2}{3}$, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}).$
 
 * Giá trị lớn nhất của P là $2$, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(2;1;1).$
 
 
 2) Ta có:
 
$Q=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$
 
$ =3xyz+4.$
 
 Tương tự ở 1) ta có $\frac{2}{3}\leq y,z\leq 2$, suy ra:
 
 * $(x-\frac{2}{3})(y-\frac{2}{3})(z-\frac{2}{3})\geq 0$
 
   $\Leftrightarrow xyz\geq \frac{50}{27}.$
 
 * $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$
 
   $\Leftrightarrow xyz\leq 2.$
 
 Từ đó, ta có:
 
$\frac{86}{9}\leq Q\leq 10.$
 
 Kết luận:
 
 * Giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{86}{9}$, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{2}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3})$ hoặc các hoán vị.
 
 * Giá trị lớn nhất của Q là $2$, đạt tại $(x,y,z)=(2,1,1)$ hoặc các hoán vị.
 
 
 P/S:
 
 Lời giải hoàn toàn tương tự với những ý tưởng đã nêu.



#644298 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 10-07-2016 - 06:33

 Bài toán 3:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}x+y+z=4 \\ xy+yz+zx=5 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
1) $P=x$.
 
2) $Q=x^{3}+y^{3}+z^{3}.$



#644248 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 09-07-2016 - 17:32

 Lời giải:
 
 
 1. Ta có:
 
 $P=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$
 
 $ =t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}.$
 
 Với $t=x+y+z.$
 
 2. Từ giả thiết, ta có:
 
 $\frac{3}{2}=z(x+y)+xy\geq 2z\sqrt{xy}+xy=\sqrt{z}+\frac{1}{4z}$
 
 $\Leftrightarrow 4z\sqrt{z}-6z+1\leq 0$
 
 $\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq z\leq \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$
 
 Đánh giá tương tự cho x và y.
 
 
 3. Từ đó ta có:
 
 1) $(x-\frac{1}{4})(y-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{4})\geq 0$
 
 $\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{9}{4}.$
 
 2) $(x-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(y-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(z-\frac{2+\sqrt{3}}{2})\leq 0$
 
 $\Leftrightarrow x+y+z\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
 
 
 4. Khảo sát hàm $f(t)=t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}$ trên đoạn $[\frac{9}{4};\frac{3\sqrt{3}}{2}]$,  ta tìm được Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P (=f(t))$:
 
 1) $Min P=\frac{129}{64}$, đạt tại $(x,y,z)=(1;1;\frac{1}{4})$ hoặc các hoán vị.
 
 2) $Max P=\frac{6+27\sqrt{3}}{8}$, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{2+\sqrt{3}}{2})$ hoặc các hoán vị.
 
 
 P/S:
 
 Ý số 3 trong lời giải trên là một trong những ý tưởng được sử dụng thường xuyên cho các bài toán tiếp theo.



#644195 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 09-07-2016 - 07:56

 Bài toán 2:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}xy+yz+zx=\frac{3}{2} \\ xyz=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
 
$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}.$



#644143 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 20:24

 Bổ sung:
 
 Với yêu cầu đề bài, ta không cần chỉ ra bộ $(x,y,z)$ sao cho z đạt GTNN là 1 hay GTLN là $\frac{7}{3}$.
 
 Nhưng, dễ thấy:
 
1) $z=1$ khi và chỉ khi $x=y=2$.
 
2) $z=\frac{7}{3}$ khi và chỉ khi $x=y=\frac{4}{3}$.



#644064 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 07:10

 Lời giải:
 
 
 Ta có:
 
$9-z^{2}=x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{(5-z)^{2}}{2}$
 
$\Leftrightarrow 3z^{2}-10z+7\leq 0$
 
$\Leftrightarrow 1\leq z\leq \frac{7}{3}.$
 
 Tương tự, ta có điều phải chứng minh.
 
 
 P/S:
 
 Đây là ý tưởng gốc, lời giải cho những bài toán sau sẽ dựa trên bài toán này.
 
 :)



#644063 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 07:07

 Bài toán 1:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \\ x+y+z=5 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$1\leq x, y, z\leq \frac{7}{3}.$



#644062 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 07:03

 Chào mọi người,

 
 ở topic http://diendantoanho...-giá-từng-biến/, mình đã tổng hợp các bài toán (Bất đẳng thức) với tên gọi: "Đánh giá từng biến".
 
 Ở topic trên ngoài những trao đổi và một số bài toán đã có hướng tiếp cận, còn một số vẫn chưa có hướng tiếp cận, quan trọng hơn là lời giải cụ thể.
 
 Trong topic này, mình sẽ đăng lại đề từng bài toán kèm theo những hướng dẫn cụ thể.
 
 N.M.N
 
 2016
 
  :)



#640201 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 14-06-2016 - 08:33

 Bài toán 2:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{5}}{y^{3}}+\frac{y^{5}}{z^{3}}+\frac{z^{5}}{x^{3}}-12ln(x+y+z)-\frac{22}{x+y+z}+\frac{6}{6+xy+yz+zx}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 3 Bài toán 1.2, 2.1 và 3.1 chưa?



#639991 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 13-06-2016 - 08:47

 Các bài toán con Chuỗi III:
 
 
 Bài toán 1:
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+9ln(x+y+z)+\frac{54}{6+xy+yz+zx}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 3 Bài toán 1.1, 1.8 và 2.3 chưa?



#639720 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 12-06-2016 - 07:53

 Bài toán 3:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}min{x,y}>z \\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{8}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}}+9(x+1)(y+1)(z+1)$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán Chuỗi 3 và 2 Bài toán 1.7 và 2.2 chưa?



#639513 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 11-06-2016 - 07:35

 Bài toán 2:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$xy+yz+zx=1.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x^{k}+y^{k}}+\frac{1}{y^{k}+z^{k}}+\frac{1}{z^{k}+x^{k}}+\frac{5k}{4}(x+1)(y+1)(z+1),$
 
 trong đó k là số thực thoả mãn: $3^{k}\geq 2^{k+1}.$
 
 
 P/S: 
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán con 1.6 và 2.1 chưa?



#639271 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 10-06-2016 - 08:08

 Các bài toán con cho Chuỗi 2:

 
 Bài toán 1: 
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:
 
$xy+yz+zx=1.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}}+\frac{15}{4}(x+1)(y+1)(z+1).$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 5 và 8 chưa?



#639077 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 09-06-2016 - 08:05

 Bài toán 8:

 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương.
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{1}{4x+2y+4\sqrt{2yz}}-\frac{4}{x+2y+3z+8}+\frac{1}{y+2z+4}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 4 và 7 chưa?



#638837 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-06-2016 - 07:31

 Bài toán 7:

 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 \\ 9xy+17yz+14zx+12z-18> 0 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{8\sqrt{5}(xy+7)}{3\sqrt{9xy+17yz+14zx+12z-18}}+\frac{36}{\sqrt{x+y+z+3}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa?
 
 :))