MathematicsNMN2016

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Đăng ký: 09-04-2016
Offline Đăng nhập: 10-07-2016 - 11:17

Tìm kiếm

Received

#644334 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 10-07-2016 - 11:09

Lời giải:

1) Ta có:

$5\leq \frac{(y+z)^{2}}{4}+x(y+z)=\frac{(4-x)^{2}}{4}+x(4-x)$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-8x+4\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq 2.$

Kết luận:

* Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{2}{3}$, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}).$

* Giá trị lớn nhất của P là $2$, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(2;1;1).$

2) Ta có:

$Q=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$

$ =3xyz+4.$

Tương tự ở 1) ta có $\frac{2}{3}\leq y,z\leq 2$, suy ra:

* $(x-\frac{2}{3})(y-\frac{2}{3})(z-\frac{2}{3})\geq 0$

$\Leftrightarrow xyz\geq \frac{50}{27}.$

* $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz\leq 2.$

Từ đó, ta có:

$\frac{86}{9}\leq Q\leq 10.$

Kết luận:

* Giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{86}{9}$, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{2}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3})$ hoặc các hoán vị.

* Giá trị lớn nhất của Q là $2$, đạt tại $(x,y,z)=(2,1,1)$ hoặc các hoán vị.

P/S:

Lời giải hoàn toàn tương tự với những ý tưởng đã nêu.

nguyenduy287 yêu thích

#644298 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 10-07-2016 - 06:33

Bài toán 3:

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=4 \\ xy+yz+zx=5 \end{matrix}\right.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

1) $P=x$.

2) $Q=x^{3}+y^{3}+z^{3}.$

ineX yêu thích

#644248 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 09-07-2016 - 17:32

Lời giải:

1. Ta có:

$P=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$

$ =t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}.$

Với $t=x+y+z.$

2. Từ giả thiết, ta có:

$\frac{3}{2}=z(x+y)+xy\geq 2z\sqrt{xy}+xy=\sqrt{z}+\frac{1}{4z}$

$\Leftrightarrow 4z\sqrt{z}-6z+1\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq z\leq \frac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Đánh giá tương tự cho x và y.

3. Từ đó ta có:

1) $(x-\frac{1}{4})(y-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{4})\geq 0$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{9}{4}.$

2) $(x-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(y-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(z-\frac{2+\sqrt{3}}{2})\leq 0$

$\Leftrightarrow x+y+z\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$

4. Khảo sát hàm $f(t)=t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}$ trên đoạn $[\frac{9}{4};\frac{3\sqrt{3}}{2}]$, ta tìm được Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P (=f(t))$:

1) $Min P=\frac{129}{64}$, đạt tại $(x,y,z)=(1;1;\frac{1}{4})$ hoặc các hoán vị.

2) $Max P=\frac{6+27\sqrt{3}}{8}$, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{2+\sqrt{3}}{2})$ hoặc các hoán vị.

P/S:

Ý số 3 trong lời giải trên là một trong những ý tưởng được sử dụng thường xuyên cho các bài toán tiếp theo.

tpdtthltvp và ineX thích

#644195 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 09-07-2016 - 07:56

Bài toán 2:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}xy+yz+zx=\frac{3}{2} \\ xyz=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}.$

ineX yêu thích

#644143 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 20:24

Bổ sung:

Với yêu cầu đề bài, ta không cần chỉ ra bộ $(x,y,z)$ sao cho z đạt GTNN là 1 hay GTLN là $\frac{7}{3}$.

Nhưng, dễ thấy:

1) $z=1$ khi và chỉ khi $x=y=2$.

2) $z=\frac{7}{3}$ khi và chỉ khi $x=y=\frac{4}{3}$.

ineX và Thislife thích

#644064 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 07:10

Lời giải:

Ta có:

$9-z^{2}=x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{(5-z)^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 3z^{2}-10z+7\leq 0$

$\Leftrightarrow 1\leq z\leq \frac{7}{3}.$

Tương tự, ta có điều phải chứng minh.

P/S:

Đây là ý tưởng gốc, lời giải cho những bài toán sau sẽ dựa trên bài toán này.

tpdtthltvp, Math Master, ineX và 1 người khác yêu thích

#644063 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 07:07

Bài toán 1:

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \\ x+y+z=5 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$1\leq x, y, z\leq \frac{7}{3}.$

Math Master và ineX thích

#644062 Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-07-2016 - 07:03

Chào mọi người,

ở topic http://diendantoanho...-giá-từng-biến/, mình đã tổng hợp các bài toán (Bất đẳng thức) với tên gọi: "Đánh giá từng biến".

Ở topic trên ngoài những trao đổi và một số bài toán đã có hướng tiếp cận, còn một số vẫn chưa có hướng tiếp cận, quan trọng hơn là lời giải cụ thể.

Trong topic này, mình sẽ đăng lại đề từng bài toán kèm theo những hướng dẫn cụ thể.

N.M.N

2016

ineX và Thislife thích

#640201 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 14-06-2016 - 08:33

Bài toán 2:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^{5}}{y^{3}}+\frac{y^{5}}{z^{3}}+\frac{z^{5}}{x^{3}}-12ln(x+y+z)-\frac{22}{x+y+z}+\frac{6}{6+xy+yz+zx}.$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 3 Bài toán 1.2, 2.1 và 3.1 chưa?

tpdtthltvp và baopbc thích

#639991 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 13-06-2016 - 08:47

Các bài toán con Chuỗi III:

Bài toán 1:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+9ln(x+y+z)+\frac{54}{6+xy+yz+zx}.$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 3 Bài toán 1.1, 1.8 và 2.3 chưa?

tpdtthltvp và baopbc thích

#639720 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 12-06-2016 - 07:53

Bài toán 3:

Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}min{x,y}>z \\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}}+9(x+1)(y+1)(z+1)$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán Chuỗi 3 và 2 Bài toán 1.7 và 2.2 chưa?

baopbc yêu thích

#639513 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 11-06-2016 - 07:35

Bài toán 2:

Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$xy+yz+zx=1.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^{k}+y^{k}}+\frac{1}{y^{k}+z^{k}}+\frac{1}{z^{k}+x^{k}}+\frac{5k}{4}(x+1)(y+1)(z+1),$

trong đó k là số thực thoả mãn: $3^{k}\geq 2^{k+1}.$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán con 1.6 và 2.1 chưa?

tpdtthltvp và baopbc thích

#639271 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 10-06-2016 - 08:08

Các bài toán con cho Chuỗi 2:

Bài toán 1:

Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

$xy+yz+zx=1.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}}+\frac{15}{4}(x+1)(y+1)(z+1).$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 5 và 8 chưa?

tpdtthltvp và baopbc thích

#639077 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 09-06-2016 - 08:05

Bài toán 8:

Cho x, y và z là ba số thực dương.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{4x+2y+4\sqrt{2yz}}-\frac{4}{x+2y+3z+8}+\frac{1}{y+2z+4}.$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 Bài toán 4 và 7 chưa?

baopbc yêu thích

#638837 4 - BĐT: Hàm số một biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 08-06-2016 - 07:31

Bài toán 7:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 \\ 9xy+17yz+14zx+12z-18> 0 \end{matrix}\right.$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8\sqrt{5}(xy+7)}{3\sqrt{9xy+17yz+14zx+12z-18}}+\frac{36}{\sqrt{x+y+z+3}}.$

P/S:

Có bạn nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa?

tpdtthltvp và baopbc thích

Trang 1 / 4