Đến nội dung

MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

Đăng ký: 09-04-2016
Offline Đăng nhập: 10-07-2016 - 11:17
*****

#629641 BĐT-Giả thiết đồng bậc-1

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 26-04-2016 - 07:07

Đề bài:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$x^{2}+y^{2}-z^{2}=xy.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{3}+y^{3}-5z^{3}\leq -3xyz.$



#629559 Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 25-04-2016 - 20:17

 Trên đây là các bài toán mình tổng hợp với ý tưởng là đưa ra cách tiếp cận theo hướng tư duy: Đánh giá từng biến, ý tưởng chính các bạn có thể xem qua bài viết ở Topic thứ 8 của anh Galois_vn trên Diễn đàn Mathscope (http://mathscope.org/) ở:
 
 
  Chủ đề tương tự mình trao đổi ở Mathscope có thể tham khảo tại:
 
 
 
 :))
 
 
 Còn nhiều bài toán vẫn chưa được thảo luận và có những bài toán tổng quát chưa có cách tiếp cận cụ thể, hầu hết những bài toán đều có nguồn gốc từ các kỳ thi và một số ý "tự mình" phát triển lên theo tư duy đã nêu (Đánh giá từng biến), do đó không tránh khỏi những vấn đề mang tính chủ quan, chẳng hạn anh Galois_vn có nhận xét: "Đơn giản nhưng tính toán nhiều". 
 
 Mong các thành viên tiếp tục thảo luận và đưa ra những ý tưởng hoặc các bài toán liên quan.
 
 Mình xin cảm ơn.
 
 :))
 
 
 
 P/S: Nếu có thời gian mình sẽ đưa ra những ý chính để giải các bài toán đã nêu và tổng hợp thành 1 File hoàn chỉnh để dễ tham khảo. Nếu có thành viên nào sẵn lòng giúp đỡ (Giải hoặc Tổng hợp thành File) thì mình rất sẵn lòng. 
 
 N.M.N 2016
 
 :)



#629254 Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 24-04-2016 - 08:18

 

Bài toán 12:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$
 
Chứng minh rằng:
 
$\frac{27}{2}\leq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\leq 140-40\sqrt{10}.$

 

 

 Mình thấy bài này rất thú vị, liệu có thể mở rộng lên theo 2 hướng:

 

 1) Luỹ thừa 3, 4, ... n?

 

 2) 4 biến, 5 biến, ... n biến?

 

 :)




#629251 Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 24-04-2016 - 07:56

 Bài toán 17:

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=5.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$\frac{17}{4}\leq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 1+4\sqrt{2}.$



#629190 Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 23-04-2016 - 22:03

Bài toán 16:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=5.$
 
Chứng minh rằng:
 
$\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq \frac{35}{3}.$



#629187 Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 23-04-2016 - 21:58

 

Đề bài 4

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$

 

 

 Đây là bài toán trong đề thi:

 

 Iran National Math Olympiad (Second round) 2014.

 

 Và có thể giải đơn giản bằng cách chuẩn hoá. 

 

 :)




#626916 Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

Gửi bởi MathematicsNMN2016 trong 12-04-2016 - 21:59

Đề bài 4

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$