dinhkhanhly

Cách khác nè:

$\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq \frac{(2\sqrt{a})^{6}}{b^{5}}+\frac{(2\sqrt{b})^{6}}{a^{5}}=64(\frac{a^{3}}{b^{5}}+b+b)+64(\frac{b^{3}}{a^{5}}+a+a)-128(a+b)\geq 64.3.\frac{a}{b}+64.3.\frac{b}{a}-128.2\geq 64.3.2-128.2=128$

Giả sử $mp-n^{2}> 0\Leftrightarrow n^{2}< mp$.

Ta có: $ap-2bn+cm=0\Rightarrow (ap+cm)^{2}=4b^{2}n^{2}< 4acmp\Rightarrow (ap-cm)^{2}< 0$ (vô lý)

Vậy...

Đặt $x=\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}, y=\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}, z=\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}$

Khi đó $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^4y^4z^4=1$. Do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2y^2z^2\geqslant 1$

Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum x\geqslant \sum \dfrac{2x^2}{x^2+1}\geqslant 2$

Do đó $Q\geqslant 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c$ và các hoán vị.

Bạn làm hơi tắt, mình chưa hiểu lắm

Bạn cứ giải theo 2 trường hợp này là ra:

TH1: x>1 nên bpt đúng với mọi x

TH2: $x\leq 1$

Bạn cứ bình phương 2 vế lên là được

bạn giải được không?