phamnam2705

Xét một x thuộc R bất kỳ, cần tìm giá trị f(x) thỏa mãn:

$f(x)=\underset{y\in R}{max}\left \{ xy-f(y) \right \} \Rightarrow xy-f(y)\leq f(x), \forall y\in R.$ (1)

Vì bất đẳng thức (1) thỏa mãn với mọi y thuộc R, nên nếu chọn y=x, ta sẽ có:

$x^{2}-f(x) \leq f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq \frac{1}{2}x^{2}$ 

Vậy, $f(x)\geq \frac{1}{2}x^{2}, \forall x\in R$ (2)

Tuy nhiên, nếu tồn tại một x thuộc R sao cho $f(x)> \frac{1}{2}x^{2}$, ta sẽ chứng minh rằng có điều vô lý.

Theo (2), thay x bởi y, ta có: $f(y)\geqslant \frac{1}{2}y^{2}, \forall y\in R$

Ta suy ra: $f(x)+f(y)> \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq xy,\forall y\in R$

Nghĩa là ta không tìm được giá trị y nào để thỏa mãn dấu bằng trong bất đẳng thức (1) và sẽ không tồn tại giá trị max của hàm $xy-f(y)$ trên R. Đó là điều vô lý.

Vậy, $f(x)= \frac{1}{2}x^{2}, \forall x\in R$