Zeref

Bản thân mình đang học năm hai của đại học sư phạm và thấy một số thứ mình đã từng học ở Olympic xuất hiện lại ở bậc Đại học (Số học ở Olympic và Đại số đại cương-Lý thuyết số ở Đại học, các khái niệm hàng điểm điều hoà - hình học xạ ảnh, ...) và mình tìm thấy sự thú vị trong đấy. Đó là lý do mình tiếp tục chọn tìm hiểu sâu vào những khái niệm ấy. Mình nghĩ học (một số chủ đề của) toán Olympic là một bước đà (về mặt tư duy và cả tinh thần!?) để có niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về toán. 

Tất nhiên, mình cũng không biết các dạng toán như phương trình hàm hay những bài hình rối một cục thì có giúp tạo ra động lực và rèn luyện tư duy cho các bạn học sinh để học toán cao cấp, thứ gần với thực tiễn hơn toán Olympic.

Câu hỏi mình cũng muốn đặt ra là nếu xét trên phương diện rèn luyện tư duy thì chừng nào là đủ với các học sinh chuyên? Chủ đề nay cần phải bàn luận thật kĩ vì giáo dục ảnh hưởng đến tương lai con người.

Còn một vấn đề nữa là những người bạn cùng khoá của mình có cả học sinh giỏi quốc gia và các bạn học ở những trường bình thường nhưng khả năng làm toán cao cấp của các bạn ấy đều là ngang nhau. Không biết Olympic có giúp tạo ra sự khác biệt gì không?

Câu 1

1) Ta cm $x_n \in [1;4]$ với mọi $n \ge 1$ bằng quy nạp.

2) Từ giả thiết suy ra 

$|x_{n+2}-2|=|[\log_3{(3x_{n+1}+75)}-2]-[\log_2{(x_n+2)}-2]| \le |\log_3{(3x_{n+1}+75)}-2|+|\log_2{(x_n+2)}-2| $

Xét $f(x)=\log_3{(3x_{n+1}+75)}$, $x \in [1;4]$, dễ dàng thấy $f'(x)<\frac{1}{12}$. Do đó theo định lý Largrange, tồn tại $c \in [1;4]$ để $|f(x_{n+1})-f(2)|=f'(c)|x_{n+1}-2| \le \frac{1}{12}|x_{n+1}-2|$. Suy ra $|\log_3{(3x_{n+1}+75)}-2 \le \frac{1}{12}|x_{n+1}-2|$ với mọi $n \ge 2$

Làm tương tự, ta có $|\log_2{(x_n+2)}-2| \le \frac{1}{2}|x_n-2|$ với mọi $n \ge 2$

Vậy, $|x_{n+2}-2| \le \frac{1}{12}|x_{n+1}-2|+\frac{1}{2}|x_n-2|$ với mọi $n \ge 1$

Đặt $y_n=x_n-2$ thì $|y_{n+2}| \le \frac{1}{12}|y_{n+1}|+\frac{1}{2}|y_n|$. Suy ra $\lim{y_n}=0$ và suy ra $\lim{x_n}=2$

Mọi người đóng góp với ạ ...

Bài pt hàm:

$P(x;0) \Rightarrow f(0)^2=1$. Xét $f(0)=1$. $P(x;y) \Rightarrow f(2x)=f^4(x)$. Nghĩa là $f(x)>0$ với mọi $x$. Từ đó lấy ln hai vế ta được:

$g(x+y)+g(x-y)=2(g(x)+g(y))$ với $g(x)=ln(f(x))$. Do $f(x)$ liên tục nên $g(x)$ cũng liên tục. Tới đây, bài toán đã trở nên quen thuộc, tham khảo: https://artofproblem...1425411p8029282

Đó không hẳn là điều kiện, chỉ là biểu diễn đa thức trên thành dạng đối xứng cơ sở, ta có một định lí cơ bản: "Mọi đa thức đối xứng $3$ biến $a,\,b,\,c$ đều có thể biểu diễn ở dạng đa thức theo các biến $\sigma _{1}= a+ b+ c,\,\sigma _{2}= ab+ bc+ ca,\,\sigma _{3}= abc$". 

Ý mình là từ 3 số $p,q,r$ bất kì thỏa mãn điều kiện đó, thì ta luôn tìm được duy nhất một bộ $a,b,c$ sao cho $a+b+c=p$ ...  Chứ không phải từ $a,b,c$ biểu diễn dưới dạng $p,q,r$

Mạnh nhất trong p, q, r đối xứng
$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \ge 0$
Hay là $p^2q^2-4q^3+18pqr-4p^3r-27r^2 \ge 0$

Đây cũng là điều kiện để $(p,q,r)$ biểu diễn dưới dạng $(a,b,c)$ thì phải