Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Zeref

Đăng ký: 15-04-2016
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:48
****-

#717561 Đề chọn đội tuyển Đồng Nai 2018-2019

Gửi bởi Zeref trong 17-11-2018 - 22:52

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019

Câu 1:

Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+2}=\log_3{(3x_{n+1}+75)}-\log_2{(x_n+2)}, n=1,2,3, ... \end{matrix}\right.$

1) CMR $x_n \ge 1$ với mọi $n=1,2,3,...$

2) Tính lim $x_n$

Câu 2:

Đường tròn $(I)$  nội tiếp tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $BE,CF$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai lần lượt là $X,Y$. $AX,AY$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai lần lượt là $X',Y'$. Các đường thẳng $EX',FY'$ cắt $AB,AC$ tại $X",Y"$ tương ứng.

1) CMR $X"Y"$ tiếp xúc $(I)$

2) Lấy $M,N$ trên $AC,AB$ sao cho $\widehat{MIB}=\widehat{NIC}=90^{\circ}$. Giả sử tồn tại điểm $M',N'$ tương ứng trên $AC,AB$ sao cho $MM',NN'$ cùng vuông góc $BC$. $(AM'N')$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai là $K$. Một đường thẳng đi qua hình chiếu vuông góc của $K$ lên $BC$ và trung điểm $KD$ cắt $M'N'$ tại $T$. CMR $KT$ vuông góc $M'N'$

Câu 3:

Cho đa thức $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ($a,b,c,d$ là các số nguyên cho trước và $d \ne 0$) có 4 nghiệm thực phân biệt là $x_1,x_2,x_3,x_4$.

1) CMR nếu $\frac{x_2}{x_1}, \frac{x_3}{x_1}, \frac{x_2}{x_3}$ là các số hữu tỉ khác $-1$ thì $x_1,x_2,x_3,x_4$ là các số nguyên

2) Nếu biết $\frac{x_2}{x_1}, \frac{x_4}{x_3}$ là các số hữu tỉ khác $-1$ thì đa thức đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ hay không ?

Câu 4:

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $7^p-p-16$ là một số chính phương.

Câu 5:

Một đề thi có $n$ câu hỏi, điểm mỗi câu hỏi là $1$. Một nhóm $n$ học sinh tham gia giải đề thi này, mỗi em làm một bài thi độc lập với nhau và số điểm của nhóm là tổng số điểm của các em. Người ta thấy rằng, cứ hai câu bất kì thì có tối đa một em giải đúng cả hai câu

1) Hãy tính số điểm lớn nhất có thể có của nhóm $n$ học sinh này

2) Chỉ ra một trường hợp số điểm lớn nhất khi $n=6,n=7$




#715479 Đề thi chọn HSG tỉnh Ninh Bình 2018-2019

Gửi bởi Zeref trong 12-09-2018 - 21:44

Cho em hỏi câu 1 ngày 2 làm thế nào vậy ạ?

Kì lạ nhỉ ? $P(x)=x$ thì $(a,b,c)=(1,2,3)$ nhưng làm gì thoả mãn ?




#714795 Một số bất đẳng thức dạng pqr thường gặp"mạnh"

Gửi bởi Zeref trong 25-08-2018 - 23:36

Mình lập topic này mong các bạn chia sẻ một số bất đẳng thức đối xứng dạng $pqr$ mà các bạn cho là "mạnh". Đối với mình là bất đẳng thức: $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca), \forall a,b,c>0$ hay biểu diễn dưới dạng $pqr$ là $p^2+2r+1 \ge 4q$




#713950 Các bài toán trong chuyên mục Quán hình học phẳng-tháng 8

Gửi bởi Zeref trong 07-08-2018 - 00:16

Lời giải khác cho bài 1:

 

Sau khi đổi về mô hình trực tâm, bài toán cũ tương đương bài toán sau: Cho $\Delta ABC$, đường cao $AD,BE,CF$. Một đường thẳng qua $A$ vuông $EF$ tại $G$ . Hình chiếu của $G$ lên đường trung bình đỉnh $D$ của $\Delta DEF$ là $K$. CM $(K;KG)$ tiếp xúc $(DEF)$

 

Chứng minh:

Gọi $H$ là trực tâm, $M,N$ là trung điểm $BC,AH$. $AG \cap BC=P$ và $AH \cap EF=Q$. Hình chiếu của $D$ lên $AP$ là $L$.

Dễ thấy: $MN \parallel AP$ và $L \in (K;KG)$. Ta sẽ CM $NG \perp ML$.

Dễ có $(AH,QD)=-1$ nên $NA^2=NQ.ND \Rightarrow \frac{NA}{NQ}=\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MP}$

Mà $\Delta GAQ \sim LDP$ (chú ý tam các tam giác vuông). Do đó $\Delta AGN \sim DLM$.

Ta có: $\widehat{GNM}+\widehat{LMN}=\widehat{AGN}+\widehat{LMN}=\widehat{DLM}+\widehat{LMN}=90^o$

Do đó $NG \perp ML$. Gọi $X=NG \cap ML$. $\widehat{NXD}=90^o$ nên $X \in (DEF)$. Và $GL \parallel MN \Rightarrow X \in (K;KG)$ 

Vậy $X \in (K;KG),(DEF)$ và $GL \parallel MN$ nên $(K;KG)$ tiếp xúc $(DEF)$ (đpcm)

 

PS

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#707868 ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHTN 2018

Gửi bởi Zeref trong 07-05-2018 - 22:09

 

Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Các điểm $ E, F $ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $ CA, AB $ sao cho $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BHC $. $ K $ là tâm ngoại tiếp tam giác $ AEF $. $ KC,KB $ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ KAE,KAF $ theo thứ tự tại $ M,N $ khác $ K $. Chứng minh rằng $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AMN $.

$\angle ABK=\angle ANK - \angle BAN=\angle AFK-\angle FAN = \angle KAF - \angle FAN = \angle NAK $
$\Rightarrow KA^2=KN.KB$. Tương tự $KM.KC=KA^2$. Xét phép nghịch đảo tâm $K$, phương tích $KA^2$ 
$(AMN)↔(ABC), EF↔(KEF)$. Như vậy ta cần CM $(O)$ tiếp xúc $(KEF)$
Bài toán cần CM phát biểu như sau: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $(O')$ là đối xứng của $(O)$ qua $BC$. Lấy điểm $D$ bất kì trên $(O')$ sao cho qua $D$ kẻ tiếp tuyến tới $(O')$ cắt được đoạn $AB,AC$ tại $E,F$. Gọi $K$ là tâm $(AEF)$. CMR $(KEF)$ tiếp xúc $(O)$
Giải:
$(BED) \cap (CFD)$ tại $G$. Ta có $\angle BGC=\angle AED+ \angle AFD=180°-\angle A$ $\Rightarrow$ $G$ thuộc $(ABC)$.
Ta có $\angle EGF = \angle EBD + \angle FCD = - \angle A + \angle DBC =180°- 2\angle A$. $\Rightarrow$ $G$ thuộc $(KEF)$  
Gọi giao của $(BED)$ với $BC$ là $P$. Kẻ $GE$ cắt $CD$ tại $X$. Dễ CM đc $\Delta DEB \sim \Delta CPD$ 
$\Rightarrow \angle PDC=\angle EBD=\angle EPD. \Rightarrow EP \parallel CX. \Rightarrow \angle CXG=\angle GEP=\angle GBC \Rightarrow X \in (O) $
Hoàn toàn tương tự, Kẻ $BD$ cắt $GF$ tại $Y$ thì $Y$ thuộc $(O)$. Từ đây dễ suy ra $EF \parallel XY$
$\Rightarrow (GEF)$ tiếp xúc $(GXY)$ hay $(KEF)$ tiếp xúc $(O)$
P/S: trường hợp đặc biệt, $D$ là điểm chính giữa cung $BC$ thì bài toán trên có thể giải bằng phép nghịch đảo đối xứng khá ngắn gọn

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#707719 ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHTN 2018

Gửi bởi Zeref trong 05-05-2018 - 21:44

 

 

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Điểm $ P $ di chuyển trên cạnh $ BC $. Lấy các điểm $ Q $ và $ R $ sao cho $ PQ \perp CA, CQ \perp BC, PR \perp AB, BR \perp BC $.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $QR $ đi qua $ H $.

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua $ P $ vuông góc với $ QR $ luôn đi qua một điểm cố định khi $ P $ thay đổi.

Bài toán có thể giải như sau:

a/$PR \cap AB =X$, $PQ \cap AC=Y$, D là chân đường cao từ A. Gọi trung điểm $AP$ là $N$ và trung điểm $BC$ là M. Dễ CM $(N)$ đi qua $X,D,Y$.

Ta sẽ CM $PQ$ là trục đẳng phương của $(N)$ và $(M)$:

$P_{R;(M)}=RB^2=RX.RP=P_{R;(N)}$ và tương tự với $Q$ $\Rightarrow$ $RQ$ là tđp của 2 đường tròn.

Đồng thời ta cũng dễ thấy $H$ có cùng phương tích tới 2 đường tròn nên $H \in RQ$

b/ Lấy đối xứng của $A$ qua $M$ là $A'$. Dễ có $MN \parallel A'P$. Mà $MN \perp RQ$ theo tính chất trục đẳng phương nên $RQ \perp A'P$. Nghĩa là đường qua $P$ và vuông góc $RQ$ đi qua điểm $A'$ cố định31913866_439061753174235_738267168799037




#700258 Đề Thi VMO năm 2018

Gửi bởi Zeref trong 13-01-2018 - 23:33

Một hướng tiếp cận bài hình ngày 2 ở câu a không dùng biến đổi góc
Ta có bổ đề: Cho hình thang cân $ABCD$, trọng tâm của $\Delta ABC$ là $G$, hình chiếu của $A$ xuống $BC$ là $E$. Lúc đó $\overline{D,G,E}$ 
26803264_394718684275209_1594733053_n.pn
Áp dụng bổ đề, kéo dài tia $H_aG$ cắt $(O)$ tại $R$.  $\Rightarrow AR \parallel BC \Rightarrow \angle CH_aG=\angle ARX=\angle ACX \Rightarrow \angle GXC = \angle ACB = \angle AXB$
Từ đó ta dễ suy ra $\Delta XBH_a \sim XAC \Rightarrow \Delta XMH_a \sim \Delta XEC \Rightarrow \angle MXE = \angle GXC = \angle ACB$. Vậy $M,E,C,X$ đồng viên
 
26857274_394726424274435_1490644976_n.pn



#694615 Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 môn toán tỉnh Bình Định

Gửi bởi Zeref trong 12-10-2017 - 00:58

Bài 4

22446847_362403880840023_1809018595_n.pn

 

a/ Sử dụng định lý Ceva cho tam giác ABC, AD,BM, CN đồng quy khi  $\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1$

Ta có $\frac{DB}{NB}=\frac{AB}{BP}$ ($\Delta BND \sim  \Delta BPA$)

          $\frac{CM}{CD}=\frac{CP}{CA}$ ($\Delta CAP \sim  \Delta CDM$)

          $\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CP}$

          $AM=AN $ (do đối xứng qua tia AP)

b/ Lưu ý $cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C=1-2 cos A. cos B. cos C$

Còn lại là một tính chất quen thuộc của tam giác trực tâm




#694566 Một Số Bổ Đề, Định lý Số Học

Gửi bởi Zeref trong 11-10-2017 - 00:26

Mình xin được phép đề cập đến 2 tính chất thường gặp :D

1/ $C_{p}^{k} \space \vdots  \space p \Leftrightarrow p$ là số nguyên tố

2/ $a \equiv b \mod{p^n} \Leftrightarrow a^p \equiv b^p \mod{p^{n+1}} $

P/s: nếu sử tính chất 2 thì bài toán : $a^p-b^p \space \vdots \space p \Rightarrow a^p-b^p \space \vdots \space p^2$ không khó




#693857 Liệu có thể chứng minh được tứ giác $ABCD$ là hình thang?

Gửi bởi Zeref trong 28-09-2017 - 16:38

Cho tứ giác $ABCD$, $O$ là giao điểm 2 đường chéo, $I$ là giao điểm của 2 đường thẳng chứa các cạnh $AD$, $BC$. Gọi $N$ là giao điểm của $IO$ và $CD$. Biết $N$ là trung điểm của $CD$. Liệu có thể chứng minh được tứ giác $ABCD$ là hình thang?

Được bạn nhé, bạn kết hợp định lý Ceva với Thales là được


  • tcm yêu thích


#691994 Cho p là số nguyên tố

Gửi bởi Zeref trong 31-08-2017 - 22:38

Cho p là số nguyên tố , a là số nguyên dương với a , p nguyên tố cùng nhau , x nguyên dương bất kì . Chứng minh

 $a^{p^{x}(p-1)} \equiv 1 \left ( mod p^{x+1} \right )$

Bạn thử sử dụng bổ đề này đi

$a \equiv b\mod p^n \Rightarrow a^p \equiv b^p\mod p^{n+1}$  

Bổ đề này không khó chứng minh




#691031 Chọn đội dự tuyển VMO 2014-2015 tỉnh Đồng Nai

Gửi bởi Zeref trong 19-08-2017 - 17:17

Câu 4

a/

Ta sẽ CM $\Delta PAE \sim \Delta PDI$

$\Delta PAC \sim PDB \Rightarrow \frac{PA}{PD}=\frac{AC}{DB}$ (1)

$\Delta ACE \sim BDE \Rightarrow \frac{AC}{BD}=\frac{AE}{BE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{PA}{PD}=\frac{AE}{BE}$ hay $\frac{PA}{AE}=\frac{PD}{DI}$

đồng thời $\widehat{PAE}=\widehat{PDI}$ do đó $\Delta PAE \sim \Delta PDI$

Từ đây suy ra $PI,PE$ đẳng giác

b/

$GF$ là đường thẳng Gauss của tứ giác $PCEA$ nên đi qua trung điểm $PE$. Do đó $GF$ là đường trung bình $\Delta EIP$

Kéo dài $EG$ cắt $PI$ tại $M$ thì $M$ là điểm đối xứng của $E$ qua $G$. $PI$ cắt $CB$ tại $K$

Ta đi CM $\Delta PEM \sim \Delta PIE$

Bằng định lý Thales ta suy ra các đẳng thức sau

$\frac{PI}{PK}=\frac{AD}{PC}$ và $\frac{PM}{PK}=\frac{PA}{PB}$

Suy ra $PI.PM=(\frac{PA}{PC}.PK)^2=PE^2$ (do $\Delta PAE \sim \Delta PCK$)

Suy ra $\Delta PEM \sim \Delta PIE$ hay $\widehat{PEG}=\widehat{EFG}$

Do đó $PE$ là tiếp tuyến của $(EFG)$

 

 

20938996_345446229202455_924346893_n.png




#690121 $f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy$

Gửi bởi Zeref trong 10-08-2017 - 16:29

Đặt $
{f}\left({x}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}{x}^{2}
$
Thay vào phương trình trên, ta được:
$
{g}\left({{x}\mathrm{{+}}{y}}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{g}\left({y}\right)
$
Đây là phương trình hàm Cauchy nên ta có được $
{g}\left({x}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{ax}
$
Suy ra $
\left({x}\right)\mathrm{{=}}{ax}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{x}^{2}
$

Mình nghĩ chỗ này bạn suy ra hơi vội, lỡ đâu $g(x) \equiv 0$ thì sao, vả lại chưa có dữ kiện rõ ràng về tập nguồn và đích, nếu điều kiện là $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và không cho gì thêm thì phải cẩn thận




#682319 CM D,E,F thẳng hàng

Gửi bởi Zeref trong 29-05-2017 - 18:17

Cho điểm O nằm ngoài tam giác ABC. Qua O, đường vuông góc OA cắt BC tại D, đường vuông góc OB cắt AC tại E, đường vuông góc OC cắt AB tại F. CM D,E,F thẳng hàng 

Hình gửi kèm

  • hinh.png



#682316 Tính diện tích hình chiếu của tam giác SCD trên (ABCD)

Gửi bởi Zeref trong 29-05-2017 - 17:58

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông (ABCD), SA = a. 

a) Tính góc giữa SC với (ABCD); (SBD) với (ABCD)

b) Tính góc giữa (SCD)&(ABCD). Tính diện tích hình chiếu của tam giác SCD trên (ABCD)