chung0103

Bài bất chắc cách này chắc đơn giản nhất r.

$\frac{1}{{a\sqrt {3a + 2b} }} + \frac{1}{{b\sqrt {3b + 2c} }} + \frac{1}{{c\sqrt {3c + 2a} }} \ge \frac{3}{{\sqrt {5abc} }}\\ \frac{1}{{a\sqrt {3a + 2b} }} + \frac{1}{{b\sqrt {3b + 2c} }} + \frac{1}{{c\sqrt {3c + 2a} }} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{abc\sqrt {(3a + 2b)(3b + 2c)(3c + 2a)} }}}}\\ CM:\sqrt {5abc} \le \sqrt[3]{{abc\sqrt {(3a + 2b)(3b + 2c)(3c + 2a)} }}\\ \Leftrightarrow 125{a^3}{b^3}{c^3} \le {a^2}{b^2}{c^2}(3a + 2b)(3b + 2c)(3c + 2a)\\ \Leftrightarrow (3a + 2b)(3b + 2c)(3c + 2a) \ge 125abc\\ \Leftrightarrow 27abc + 18{b^2}c + 18a{c^2} + 12b{c^2} + 18{a^2}b + 12a{b^2} + 12{a^2}c + 8abc \ge 125abc\\ \Leftrightarrow 18({a^2}b + {b^2}c + {c^2}a) + 12(a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}) \ge 90abc\\ \Leftrightarrow 3({a^2}b + {b^2}c + {c^2}a) + 2(a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}) \ge 15abc$