chung0103

1. Cho $x;y\in Z,x;y>1$ sao cho $4x^2y^2-7x+7y$ là số chính phương. Chứng minh : $x=y$.

2. Cho $a_{1}$ nguyên dương. Ta lập các số nguyên dương $a_{2};a_{3};a_{4};...;a_{2015}$ thoả mãn điều kiện $a_{n+1}=a_{n}^{3}+2013$, với $n=1;2;3;...;2014$. Hỏi trong 2015 số nguyên dương $a_{1};a_{2};a_{3};...a_{2015}$ có bao nhiêu số chính phương.

3. Cho $m>n$ là các số nguyên dương lẻ và $n^2-1\vdots m^2-n^2+1$. Chứng minh $m^2-n^2+1$ là một số chính phương.

4. Xét phương trình $x^2+ky^3-2kxy^2-k=0$ với $k$ nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình trên có nghiệm nguyên $(x;y)$ thoả mãn $x>0;y>1$ khi và chỉ khi $k$ là một số chính phương.

5. Cho $x;y;z$ nguyên dương thoả mãn $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}$ nhận giá trị nguyên dương.

Chứng minh rằng $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}$ có thể biểu diễn được tổng của 2 số chính phương.

6. Cho $a,b,c,d\in Z$ thoả mãn $\frac{a^2-1}{5a}=\frac{b^2-1}{5b}=\frac{c^2-1}{4c}=\frac{d^2-1}{4d}=p$, trong đó là p nguyên dương. Chứng minh $(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)$ là số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $B$ sao cho $AD=AB$. Từ $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $BC$ tại $E$ và đường thẳng vuông góc với $AB$ ở $B$ tại $F$. Tia $AE$ cắt $CF$ tại $M$. Chứng minh : $DM \bot BC$   

Cho ba số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $2\sqrt{ab}+\sqrt{ac}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{3bc}{a}+\frac{4ca}{b}+\frac{5ab}{c}$

Giải phương trình:

a, $2(2x^2 +4x + 3) = (5x+4)\sqrt{x^2+3}$

b, $\sqrt{2x+1} + 3\sqrt{4x^2-2x} +1 = 3 + \sqrt{8x^3+1}$

Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn: $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq ab + bc + ca$

Dãy đối xứng.                                    

Cho một dãy gồm N số nguyên a₁, a₂, …, a_N;   mỗi số có giá trị tuyệt đối không quá 10⁴

Yêu cầu: Hãy tìm dãy con đối xứng dài nhất trong dãy đã cho. (Dãy con là dãy các phần tử liên tiếp có từ 2 phần tử trở lên)

Dữ liệu vào từ file văn bản DAYDX.INP:

• Dòng đầu tiên chứa số nguyên dương N $(1 \leq N\leq 10^{3})$
• Dòng tiếp theo, chứa các số nguyên $a_{i}(i=\overline{1..N})$ , mỗi số cách nhau một dấu cách.

Kết quả ghi ra file văn bản DAYDX.OUT trên một dòng duy nhất hai số p, q cách nhau một dấu cách là vị trí bắt đầu dãy con và dộ dài của dãy con đó, nếu không có dãy con đối xứng ghi ra số 0. (Trong trường hợp có nhiều dãy con thỏa mãn, thì ghi dãy con đầu tiên tìm được)

Ví dụ:

Giải thích ví dụ: Dãy con đối xứng dài nhất là: 12 13 15 13 12 bắt đầu từ vị trí 4 có độ dài 5

1, Cho $a;b;c$ là các số dương thoả mãn: $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng: $(a+b)(a+c)(b+c)\geqslant 64a^{3}b^{3}c^{3}$

2, Cho $x;y$ là các số thoả mãn: $x^{3} + y^{3} + 3(x^{2}+y^{2}) + 4(x+y) + 4 = 0$ và $x.y>0$. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.