lily evans

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)-\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=(2(x^2+y^2)-1)(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Hình như phần phân tích sau "ta có" bị sai thì phải, bạn ạ.

Xét trường hợp x=y=0 trước.

Với x,y khác 0 thì ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}-2x-4y=0\\ x^{3}+2x^{y}+xy^{2}+4x+2y^{3}+2y=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y(x^{2}+y^{2})=2(x+2y)\\(x+2y) (x^{2}+y^{2})+4x+2y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2(x+2y)^{2}}{y}+4x+2y=0\Leftrightarrow 2(x+y)(x+5y)=0$

Đến đây thì dễ rồi!

 

Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$

 

mình không hiểu

Một bài toán tổng quát:

Cho $a, b, c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ và $k$ là số thực dương

Khi đó ta có BĐT

$(\dfrac{a}{b+c})^{k}+(\dfrac{b}{a+c})^{k}+(\dfrac{c}{a+b})^{k}\ge$ $min$$(2;\dfrac{3}{2^{k}})$

chứng minh như thế nào?

Bạn thiếu A thuộc đường tròn (O) kìa

có phải là diện tích của tứ giác ABC bằng diện tích của tứ giác AEKF không?