lily evans

Xem lời giải tại đây :

http://vnexpress.net...ign=boxtracking

Trọn bộ đáp án ở đây:

http://vnexpress.net...en-3414625.html

ii) Ba đường thẳng AF, ED, HK song song với nhau từng đôi một.

Gọi I là giao của EH với AF.

HK song song với AF, EK=KF nên EH=HI, mà AH=HD nên AIDE là hình bình hành, suy ra AI song song ED

Cho $\left ( O \right )$ đường kính $AB=2R$. trên tia đói tia AB lấy điểm C sao cho $AC=R$ Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Lấy điểm M bất kì thuộc $\left ( O \right )$ BM cắt d tại P, CM cắt $\left ( O \right )$ tại N, PA cắt $\left ( O \right )$ tại Q

a. chứng minh $PC//NQ$

b. chứng minh trọng tâm G của $\Delta CMB$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M di động trên $\left ( O \right )$

Câu a chắc bạn làm được rồi, vậy mình xin thử giải câu b:

Gọi E là trung điểm BC. Trên đoạn thẳng EO lấy điểm F sao cho OE=3FE,  nên F cố định.

Xét tam giác MOE có ME=3GE, OE=3FE suy ra $GF=\frac{MO}{3}=\frac{R}{3}$

Vậy G di chuyển trên đường tròn $(F;\frac{R}{3})$ cố định

Mình nghĩ PMN là cát tuyến không đi qua tâm O.

a. chứng minh BM/BK = NB/NK

Mình làm tắt nhé:

$PK.PO=PM.PN=PA^{2}\Rightarrow \Delta PMK\sim \Delta PON\Rightarrow$ MKON nội tiếp

$\angle OKN=\angle OMN=\angle ONM=\angle MKP\Rightarrow 90^{\circ}-\angle OKN=90^{\circ}-\angle MKP\Rightarrow \angle NKA=\angle MKA\Rightarrow \angle NKM=2\angle NKA$

Ta có:

$\angle NKA=\frac{\angle NKM}{2}=\frac{\angle NOM}{2}=\angle NBM$ mà $\angle NAK=\angle NMB$ nên $\Delta NAK\sim \Delta NMB\Rightarrow \frac{NB}{NK}=\frac{BM}{AK}=\frac{BM}{BK}$ (đpcm)

 Cho đường tròn (O), dây AB cố định không phải là đường kính. Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. M và N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB và AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh khi điểm C di động trên cung lớn AB, tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác NAH và NBH có giá trị không đổi.

Gọi D, E lần lượt là  tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHN và BHN. F là giao điểm của AD, BE. 

$\angle DAH=\angle DHA=\frac{180^{\circ}-\angle ADH}{2}=\frac{180^{\circ}-2\angle ANM}{2}=\frac{180^{\circ}-2\angle MNB}{2}=\frac{180^{\circ}-\angle HEB}{2}=\angle EHB=\angle EBH\Rightarrow HE//DF;HD//EF\Rightarrow r_{1}+r_{2}=AD+HE=AD+DF=AF$

Vì $\angle FAB=\angle FBA$ nên tam giác ABF cân tại F $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AF=FB\\\angle AFB=180^{\circ}-2\angle FAB=\angle ADH=2\angle ANH=\angle ANB\Rightarrow ABFN nt \end{matrix}\right.$

Vậy tổng hai bán kính bằng AF=FB không đổi (F cố định vì tam giác ABF cân tại F nội tiếp (O) và AB cố định)

$3(x+y+z)=(x+y)^{2}+z^{2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2}\Leftrightarrow 6(x+y+z)\geq (x+y+z)^{2}\Leftrightarrow x+y+z\leq 6$

Ta có:

6. Từ một điểm M nằm ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A,B là 2 tiếp điểm). AB $\perp$ OM tại H. Qua H vẽ dây CD bất kì của (O). Chứng minh $\widehat{CMO}$ = $\widehat{OMD}$.

$OD^{2}=OA^{2}=OH.OM\Rightarrow \Delta HOD \sim \Delta DOM\Rightarrow \angle HMD=\angle HDO=\angle CDO=\angle OMC$

4. Cho đường tròn (O), vẽ dây AB khác đường kính. Lấy điểm C trên cung lớn AB (C khác B) sao cho tia AC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại D. Đường tròn qua ba điểm B,C và D cắt AB tại điểm thứ hai E. Chứng minh tam giác BDE cân.

Kẻ Bx là tia đối của tia BD

CDEB nội tiếp nên $\angle DEB=\angle ACB=\angle ABx=\angle DBE\Rightarrow$ tam giác DBE cân tại D

3. Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là hai tiếp điểm). Gọi M là giao điểm của OA và BC, D là một điểm trên đường tròn (O) sao cho D không nằm trên đường thẳng OA, kẻ dây cung DE đi qua M. Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp.

Tứ giác BDCE nội tiếp (O) nên $\Delta BEM\sim \Delta DCM\Rightarrow DM.ME=BM.MC=BM^{2}=OM.MA\Rightarrow \Delta OME\sim DMA\Rightarrow$ ODAE nội tiếp

Nhưng bạn nhìn vào hình của mình, mình thấy nó không đúng

Hình bạn vẽ có khác mình một tý, nhưng hướng chứng minh thì vẫn tương tự:

Vẽ Cx là tia đối của CD.

DHFC nội tiếp nên $\angle DHF=\angle FCx$

Ta lại có:

$\angle FBC=\angle FCx$( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Vậy $\angle FBC=\angle FHD\Rightarrow$ BC song song với DH

Xin lỗi, mình chẳng biết vẽ hình     

Nếu cho a,b,c là các số thực dương thì dấu = không xảy ra

nhưng nếu cho a,b,c là các số thực không âm thì vẫn xảy ra dấu =

xảy ra tại điểm a=0, b=c và các hoán vị

Nếu đề cho là các số thực không âm thì có lẽ nó sẽ khó hơn...

Cũng không khó hơn lắm đâu 

Với $a,b,c>0$ thì chứng minh như bạn leminhnghiatt

Nếu một trong ba số bằng 0 thì giả sử a=0, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$

Dấu bằng sẽ xảy ra như bạn nói

b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui.
 

NK vuông góc AB, HM vuông góc AB nên KN song song với MH. Chứng minh tương tự, được MK song song với HN, nên MKNH là hình bình hành, suy ra KH cắt MN tại trung điểm của MN.

Mặt khác, IE là đường nối tâm nên cắt MN tại trung điểm. Vậy KH, MN, IE đồng quy

a) Chứng minh ba điểm A, I, H thẳng hàng.

Ta có:

$\angle MAI=(180^{\circ}-\angle AIM):2=(180^{\circ}-2\angle ANM):2=(180^{\circ}-2\angle ABC):2=90^{\circ}-\angle ABC=\angle MAH$ nên A, I, H thẳng hàng