lily evans

Cho tam giác ABC có D,E,F thuộc đoạn BC,CA,AB. Giả sử AD,BE,CF đồng quy và tam giác ABC, DEF có cùng trọng tâm. Chứng minh D,E,F là trung điểm BC,CA,AB

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Chứng minh x=y=z

Trong một hình tròn có diện tích S lấy 2009 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. CMR: Luôn tìm được 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích bé thua $\frac{S}{2007}$

Thực ra đề ban đầu là $\frac{S}{1004}$, nhưng mình thấy có thể chứng minh nhỏ hơn nên đã sửa lại. Nếu không ai post đáp án thì mình post cho.

Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{2}{z^{2}}=1$

Cho (O;R) và dây BC cố định không đi qua O. A di động trên (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác.

a) Đường thẳng chứa phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh tam giác AMN cân.

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên BH và CH. Chứng minh OA vuông góc EF

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt phân giác trong của góc BAC tại K. Chứng minh HK luôn đi qua một điểm cố định