Alpha LogaE

Mình nghĩ bài 5 (khối 10) làm như sau:

Đầu tiên, ta xét trường hợp A=1

Giả sử bạn nhận được bóng là $A_{0}$, là tâm của hệ 9 điểm còn lại

Gọi 9 bạn còn lại lần lượt là các điểm $A_{1}, A_{2},...,A_{9}$, 

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: $A_{i}A_{0}\neq A_{j}A_{0}$ và $A_{i}A_{j}>A_{i,j}A_{0}$

Dễ thấy trong các góc $\angle A_{i}A_{0}A_{j}$ sẽ tồn tại một số góc $< \frac{360}{9}=40^{o}$ , gọi một trong các góc đó là $\angle A_{1}A_{0}A_{2}$. Để ý rằng $A_{i}A_{j}$ < $A_{i}A_{0}$ hoặc $A_{j}A_{0}$, điều này vô lý.

Với A=2. Gọi $A_{1},A_{10}$ là 2 tâm khác biệt và $A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ tương ứng với tâm $A_{1}$ , $A_{6},A_{7},A_{8},A_{9}$ tương ứng với tâm $A_{10}$. Xét trong từng hệ 5 điểm:

Bây giờ sẽ tồn tại một số góc $\angle A_{i}A_{0}A_{j}$ thỏa $60^{o}< \angle A_{i}A_{0}A_{j}<90^{o}$, và ta chỉ cần chọn các góc còn lại trong tam giác $A_{i}A_{0}A_{j}$ để $\angle A_{i}A_{0}A_{j}$ lớn nhất.

Đối với các góc tù thì hiển nhiên $\angle A_{i}A_{0}A_{j}$ lớn nhất.

Vậy ta luôn chọn được $A_{i}A_{j}$ là các cạnh dài nhất trong các tam giác trong từng hệ 5 điểm, tức là khoảng cách của các điểm còn lại đến tâm luôn ngắn nhất, thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

Ta có: $3^{2^{4n+1}}+2$ = $3^{2^{4n+1}}-3^{2}+11$. 

Lại có: $3^{2^{4n+1}}-3^{2}= 3^{2}(3^{2^{4n+1}-2}-1)$ = $3^{2}(3^{2(2^{4n}-1)}-1)$

Áp dụng định lý Fecmat nhỏ cho ta $3^{10}\equiv 1(mod11)$,        (1)

Đến đây, dễ thấy $2^{4n}-1\vdots 2$ và $2^{4n}-1=(2^{4})^{n}-1\vdots 5$

mà $(2,5)=1$ nên $2^{4n}-1\vdots 10$                                            (2)

Từ (1) và (2) ta có ngay $3^{2(2^{4n}-1)}-1\vdots 3^{10}-1\vdots 11$

Vậy $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$.

Dễ thấy n = 2 thỏa yêu cầu

Xét hệ phương trình đồng dư:

$\left\{\begin{matrix} a &\equiv \frac{n}{p1} &(modp1) \\ a &\equiv\frac{n}{p2} &(mod p2) \\ a &\equiv... &(modpi) \\ a &\equiv \frac{n}{pk} &(mod pk) \end{matrix}\right.$ (1) với $(pi,pj)=1$, $i\neq j$

Theo định lý phần dư Trung quốc thì hệ này có nghiệp duy nhất

Ta xét số $\frac{n}{pi}$ , rõ ràng $(\frac{n}{pi},pi)=1$ nên tồn tại số nguyên si sao cho S = si.$\frac{n}{pi}$ $\equiv$ 1 $(modpi)$.

Để thỏa yêu cầu đề bài thì si = -1 

Theo công thức xác định nghiệm của hệ (1) thì a = $\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi})$ $\neq$ -1

Vậy n=2 là số duy nhất thỏa đề

p/s: không biết có đúng không, các bạn kiểm tra giùm mình!

Ta có: $5^{2015}=(4+1).5^{2014}=4.5^{2014}+5^{2014}=4.(4+1).5^{2013}+5^{2014}=4^{2}.5^{2013}+4.5^{2013}+5^{2014}=4^{2}.5^{2013}+3^{2}.5^{2013}>4^{2015}+3^{2015}.$