thinhnarutop

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix}10(y-x)=x^4+9 \\ \sqrt{y}+\sqrt{y-2x}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Ta có $\frac{2+a}{1+a}-1+\frac{1-2b}{1+2b}+1=\frac{2}{2+2a}+\frac{2}{1+2b}\geq 2. \frac{(1+1)^2}{2+2a+1+2b}$

Mà $a+b\leq2$

Nên $\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\geq \frac{8}{7}$

Ta có: $(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Leftrightarrow \left | x+y \right |\leq \sqrt2 \Leftrightarrow x+y \geq -\sqrt2$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{-1}{\sqrt2}$

1. Tên nick ứng viên: I Love MC, baopbc, Baorvien, tritanngo99.

2. Thành tích nổi bật: đóng góp cho các topic rất sôi nổi.

3. Ghi chú thêm: Không có.

Bài này còn một cách dùng BĐT ở VT nữa.

1) $\begin{cases}& \sqrt{x^2-2x+6}.log_{3}(6-y)=x\\& \sqrt{y^2-2y+6}.log_{3}(6-z)=y\\& \sqrt{z^2-2z+6}.log_{3}(6-x)=z \end{cases}$

2) $\begin{cases}& x^2(x+1)=2(y^3-x)+1\\& y^2(y+1)=2(z^3-y)+1\\& z^2(z+1)=2(x^3-z)+1 \end{cases}$

3) $\begin{cases}& \sqrt{x}+\sqrt{y}+2(x^2+y^2)=4+2xy\\& x \sqrt{3x^2+6xy}+y \sqrt{3y^2+6xy}=6 \end{cases}$

4) $\begin{cases}& x^2+y^2+ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=5\\& (xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{cases}$

5) $\begin{cases}& (x-2)(2y-1)=x^3+20y-28\\& 2(\sqrt{x+2y}+y)=x(x+1) \end{cases}$

$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}}=x-\frac{1}{2}$

a) $2x+2\sqrt{x-2}-4\sqrt{x-4}=0\Leftrightarrow (\sqrt{x-4}-2)^2+(\sqrt{x-2}+1)^2+1=0(!!!)$

Ta có: $\frac{a}{2a+1}\leq \frac{9}{49}a+\frac{8}{49}$

TT: $\frac{b}{2b+1}\leq \frac{9}{49}b+\frac{8}{49}$

       $\frac{c}{2c+1}\leq \frac{9}{49}c+\frac{8}{49}$

Vậy $\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leq \frac{9}{49}(a+b+c)+3.\frac{8}{49}= \frac{6}{7}$

Đấu = xảy ra <=> $a=b=c=\frac{2}{3}$

20) Ta có: $(1+a)(1+b)(1+c)\leq(\frac{1+a+1+b+1+c}{3})^3=\frac{64}{27}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Bài 2: $\frac{a^2}{b-1}+4(b-1)\geq 4a, \frac{b^2}{a-1}+4(a-1)\geq4b$

Do đó: $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq8$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

bài 1 có vấn đề không bạn nếu ta cho $a=b=c= \frac{1}{3}\Rightarrow (a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})=10<64$

3) $(a+2010b)+(b+2010c)+(c+2010a)\geq 3.(\frac{\sqrt[3]{a+2010b}+\sqrt[3]{b+2010c}+\sqrt[3]{c+2010a}}{3})^3$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{a+2010b}+\sqrt[3]{b+2010c}+\sqrt[3]{c+2010a}\leq3\sqrt[3]{2011}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = 1

$\begin{cases}& (1+4^{2x-y}).5^{1-2x+y}=1+2^{2x-y+1} \\ & y^3+4x+1+ln(y^2+2x)=0 \end{cases}$

Gọi F, G, H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC; M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ trọng tâm K của tâm giác và trung điểm I của BC, gọi O là giao điểm của BI và d

Ta có: IN là đường trung bình của tứ giác ACHF => CH + AF = 2IN

Vì IN song song AG nên: $\frac{MN}{MG}= \frac{IK}{BK}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2MN=MG$

$\frac{IN}{KM}= \frac{ON}{OM}\Rightarrow IN= \frac{MK.ON}{OM}$

$\frac{BG}{MK}= \frac{OG}{OM}\Rightarrow BG=\frac{OG.MK}{OM}$

TA có: $AF+BG+CH=2.IN+BG=2\frac{MK.ON}{OM}+ \frac{OG.MK}{OM}= \frac{MK}{OM}(2ON+OG)=3MK$