Lawer

Đặt $[\frac{2x-1}{3}]=[\frac{x-1}{2}]=n$ 
Vậy thì $3n \le 2x-1 <3n+3$ và $2n \le x-1 <2n+2$ 
Hay $3n+1 \le 2x<3n+4$ và $4n+2 \le 2x <4n+6$ 
Suy ra $4n+6>3n+1$ và $3n+4>4n+2$ 
suy ra $-5<n<2$ 
Suy ra $n \in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$ 
$n=0$ thì $1 \le 2x<4$ và $2 \le 2x<6$ đến đây giải đc $x$ thôi  
tương tự với các TH còn lại

Bạn làm thế nào vậy cà ? Mình không hiểu rõ lắm

Đây là cách của mình

Đặt $\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x+1}{2} \right ]=t(t\epsilon Z.)$

Theo t/c nếu $[a]=[b]$ thì $\left | a-b \right |< 1.$ Ta có

$\left | \frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2} \right |< 1\Leftrightarrow -1< \frac{x-5}{6}< 11\Leftrightarrow -1< x< 11.$ Khi đó

$\left\{\begin{matrix} 0< \frac{x+1}{2}< 6 & & \\ -1< \frac{2x-1}{3}< 7 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq \left [ \frac{x+1}{2} \right ]\leq 5 & & \\ -1\leq \left [ \frac{2x-1}{3} \right ] \leq 6& & \end{matrix}\right.$

Suy ra $t\epsilon \left \{ 0;1;2;3;4;5 \right \}.$

Từ đó mình thay vào tính thôi !

Với $t=0$ thì $\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x-1}{2} \right ]=0$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq \frac{2x-1}{3}< 1 & & \\ 0\leq \frac{x+1}{2}< 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\leq x< 2 & & \\ -1\leq x< 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x< 1.$

Tương tự các TH còn lại :

Với $t=1$ $\Leftrightarrow 1\leq x< 3$

Với $t=2$ $\Leftrightarrow \frac{7}{2}\leq x< 5$

Với $t=3$ $\Leftrightarrow 5\leq x< \frac{11}{2}$

Với $t=4$ $\Leftrightarrow 7\leq x< 8$

Với $t=5$ $\Leftrightarrow 9\leq x< \frac{19}{2}.$

Đến đay mình có thể suy ra tập nghiệm

P/s: Xin lỗi vì post đề sai 

Cho tam giác vuông $ABC(\widehat{A}=90^{\circ})$, đường cao AD, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABD, J là giao điểm các đường phân giác của tam giác ADC, đường thẳng IJ cắt AB tại M và cắt AC tại N.

Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN vuông cân.

b) $S_{AMN}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$.

Hình thì các bạn tự vẽ, xin lỗi vì mình không biết dùng Geogebra.

a) Từ I và J hạ các đường vuông góc với các cạnh AB,AC,BC và AD 

$\Rightarrow IP=IQ=IF,JH=JK=JE.$

Chứng minh $\widehat{JAG}=\widehat{AJE}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{JAC}=\widehat{JAE}$) để

suy ra JG=AE, còn JK=JE=JH=ED nên JG+JK=AD, suy ra AK+AG=AD.

Do đó AG+AK=AQ+AL=AD $\Rightarrow$ GQ=LK.

Gọi O là giao điểm của IL và JG $\Rightarrow$ OI=OJ $\Rightarrow$ Tam giác OIJ vuông cân $\Rightarrow$ Tam giác AMN vuông cân.

b) Từ câu a) suy ra AM=AN=AD $\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{2}AM.AN=\frac{1}{2}AD^2$.

Gọi T là trung điểm của BC, ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AD=AT.AD\geq AD^2.$

Suy ra $S_{AMN}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$, dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow$ tam giác ABC vuông cân.

Mình góp thêm bài hình:

Cho tứ giác $ABCD$, trên các cạnh $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ lần lượt lấy các điểm $M$,$N$,$P$,$Q$ sao cho $\frac{AM}{MB}=m,\frac{BN}{NC}=n,\frac{CP}{PD}=p,\frac{DQ}{QA}=q$, đồng thời $(1-mp)(1-nq)\leq 0$.

Chứng minh rằng $S_{MNPQ}\leq max${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}.

Ta có:$\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}}=\frac{BM}{BA}.\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{(BM+MA)}.\frac{BN}{(BN+NC)}=\frac{n}{(1+m)(1+n)}$

Tương tự $\frac{S_{CNP}}{S_{CBD}}=\frac{p}{(1+n)(1+p)},\frac{S_{PDQ}}{S_{DCA}}=\frac{q}{(1+q)(1+p)},\frac{S_{AQM}}{S_{ADB}}=\frac{m}{(1+m)(1+q)}$

$\Rightarrow \frac{S_{BMN}}{S_{BAC}}+\frac{S_{CNP}}{S_{CBD}}+\frac{S_{PDQ}}{S_{DCA}}+\frac{S_{AQM}}{S_{ADB}}$

$=\frac{n}{(1+m)(1+n)}+\frac{p}{(1+p)(1+n)}+\frac{q}{(1+q)(1+p)}+\frac{m}{(1+m)(1+q)}$

Ta chứng minh

$\frac{n}{(1+m)(1+n)}+\frac{p}{(1+p)(1+n)}+\frac{q}{(1+q)(1+p)}+\frac{m}{(1+m)(1+q)}\geq 1$

$\Leftrightarrow n(1+p)(1+q)+p(1+m)(1+q)+q(1+m)(1+n)+m(1+n)(1+p)\geq (1+m)(1+n)(1+p)(1+q)$

$\Leftrightarrow (1-mp)(1-nq)\leq 0$

luông đúng theo giả thiết.

Đặt $S=max${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}

và  $s=min${$S_{ABC};S_{BCD};S_{CDA};S_{DAB}$}

thì $S+s=S_{ABCD}$.

Ta có $S_{MNPQ}=S_{ABCD}-(S_{AQM}+S_{BMN}+S_{CNP}+S_{DPQ})$

$\leq S_{ABCD}-s(\frac{n}{(1+m)(1+n)}+\frac{p}{(1+p)(1+n)}+\frac{q}{(1+q)(1+p)}+\frac{m}{(1+m)(1+q)})$

$\leq S_{ABCD}-s=S$

Bài 3: (3,5 đ)
Cho tam giác ABC không cân có 3 góc nhọn, M là trung điểm BC, AD là đường cao.
Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a/ Chứng minh góc EDC bằng góc BAE.
b/ Chứng minh DE vuông góc với AC và MN là đường trung trực của DE, với N là
trung điểm của AB.
c/ Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực đó bạn

Hình vuông ABCD, điểm E thuộc BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng cắt DE và DC theo thứ tự ở H và K.

a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp 

b) Tính góc CHK

c) Chứng minh KC.KD=KH.KB

P/s: Bạn nào giúp mình với mình đang rất cần gấp

Cho thêm ít bài nữa :

a) Chứng minh BĐT :

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(2n)^2}< \frac{1}{2}$ với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Làm 2 cách !

b) Chứng minh rằng nếu tích của ba số bằng 1 và tổng của chúng lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì có một trong ba số đó lớn hơn 1.(Đề thi vô địch Nam Tư,1976).

c) Cho đa thức :$P_{(x)}=ax^2+bx+c.$ Chứng minh rằng nếu $P_{(x)}$ có ba nghiệm số phân biệt $\alpha ,\beta ,\gamma$ thì $a=b=c=0$ tức là $P_{(x)}=0$ với mọi $x$.

d) Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(x;n)$ thỏa mãn phương trình sau $x^3+3367=2^n$.

e) Tìm các số tự nhiên: $2< x< y< z< t< u$ thỏa mãn:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{u}=1$

f) Giải phương trình:

$\left [ \frac{2x-1}{3} \right ]=\left [ \frac{x+1}{2} \right ]$

P/s: Riêng câu f) là mình khuyến mãi cho các bạn đó (trong Phần nguyên và ứng dụng).

$3xy-5x-2y=3\Leftrightarrow x(3y-5)=3+2y\Leftrightarrow x=\frac{3+2y}{3y-5}$ (do y=$\frac{5}{3}$ không là nghiệm của pt)

Bài toán quy về tìm y sao cho biểu thức $\frac{3+2y}{3y-5}$ có giá trị nguyên.

Mình cũng đã làm đến đây nhưng sâu hơn tí nữa là: $\frac{3y+3}{3y-5}$

Nhưng theo mình thì ta phải quy về kiểu :$a+\frac{b}{c}$

Nên chỉ cần đi tìm ước của $b$ ,sau đó thế vào $x$ thì tìm được nghiệm.Vậy nên mời bạn làm tiếp

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH                              ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                             Môn: Toán 8

                                                                                                                                                         Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 

Câu 1: Cho biểu thức: $$A=\frac{x^5+x^2}{x^3-x^2+x}$$ 

          a) Rút gọn biểu thức $A$.

          b) Tìm $x$ để $A-\left | A \right |=0$.

          c) Tìm $x$ để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu a như bạn PhucLe:

a) $A=\frac{x(x^{4}+x)}{x(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{x(x^{3}+1)}{x^{2}-x+1}$

$=\frac{x(x+1)(x^{2}-x+1)}{x^{2}-x+1}$

$=x(x+1)$

Câu c:

Ta có $x(x+1)=x^2+x=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

Ta thấy:$(x+\frac{1}{2})^2\geq 0$

$\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geq -\frac{1}{4}$

$\Rightarrow$ $Min_{A}=-\frac{1}{4}$ khi $x=-\frac{1}{2}$

Cho parabol (P): $y=x^{2}$ và đường thẳng (d) $A(x_{A};y_{A})$: $y=mx-2$ ( m là tham số, $m\neq 0$)

a. Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) khi m=3

b. Gọi $A(x_{A};y_{A})$; $B(x_{B};y_{B})$ là 2 giao điểm phân biệt của parabol (P) và đường thẳng (d). tìm giá trị của m sao cho $y_{A}+y_{B}=2(x_{A}+x_{B})-1$(1)

a.Hình bạn tự vẽ.

Ta có hoành độ giao điểm: $x^2=3x-2$

$\Leftrightarrow x^2-3x+2=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=2& & \\ x_{2}=1& & \end{matrix}\right.$

Với $x=1$ thì $y=1$

      $x=2$ thì $y=4$

$\Rightarrow \begin{matrix} (1;1) & & \\ (2;4) & & \end{matrix}$

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) khi m=3 là $(1;1)$ và $(2;4)$.

b.Ta có phương trình $x^2-mx+2=0$.

Áp dụng hệ thức $Vièt$ vào (1), ta có:

$x_{A}^2+x_{B}^2=2(x_{A}+x_{B})-1$

$\Leftrightarrow (x_{A}+x_{B})^2-2x_{A}x_{B}=2(x_{A}+x_{B})-1$

$\Leftrightarrow m^2-4=2m-1$

$\Leftrightarrow m^2-2m-3=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m_{1}=3 & & \\ m_{2}=-1 & & \end{matrix}\right.$

Tại sao lại là $5.7^{2(2+1)}$, bạn có nhầm đề ko?

Vâng xin lỗi bạn mình đã sửa ở trên .

   Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 

 

Với n =2 thấy $S\notin Z$ 

Giả sử S đúng đến k, ta cần chứng minh S cũng đúng kến k+1

Thật vậy, $S\Leftrightarrow \frac{3}{4}+\frac{8}{9}+..+ \frac{k^2-1}{k^2}+\frac{(k+1)^2-1}{(k+1^2)}$

              $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{k^2+2k}{(k+1)^2}$(Với a, b nguyên tố cùng nhau và a, b nguyên)

               $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+1-\frac{1}{(k+1)^2} \notin Z$( vì $\frac{1}{(k+1)^2}$ là số thập phân)

vậy S ko là số nguyên với mọi n $\geq 2$

Đoạn màu đỏ bạn viết sai nhé phải là :$(k+1)^2$.

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

Giải:

$S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$

$S=(1-\frac{1}{2^2})+(1-\frac{1}{3^2})+(1-\frac{1}{4^2})+...+(1-\frac{1}{n^2})$

$S=n-1-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2})< n-1$. Vậy: $S< n-1(1)$

*Ta chứng minh: $S>n-2$

Thật vậy: $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}< (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{(n-1)}-\frac{1}{n})< 1-\frac{1}{n}$

Do đó :$S> n-1-(1-\frac{1}{n})=n-2+\frac{1}{n}> n-2.$

Vậy:$S> n-2(2)$.

Từ (1) và (2) ta suy ra:$n-2< S< n-1$ với mọi số nguyên dương $n\geq 2.$

Mà $n-2$ và $n-1$ là hai số nguyên dương liên tiếp.

Nên $S$ không là số nguyên (đpcm).

Chứng minh rằng: $5.7^{2(n+1)}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ là số nguyên dương.

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

Đề thi vào lớp chuyên toán miền Bắc, 1972:

a) Phân tích biểu thức ra nhân tử: $A=x^3(x^2-7)^2-36x$.

b) Dựa vào kết quả câu trên hãy chứng minh biểu thức :$n^3(n^2-7)^2-36n$ luôn luôn chia hết cho $7$ với mọi số nguyên $n$.

a) Cách khác ngắn gọn hơn:

Xét :$B=x^2(x^2-7)^2-36$. Dễ thấy rằng :$B=0$ với $x=\pm 1,\pm 2,\pm 3;$

Do đó vì $B$ là đa thức bậc 6 của $x$, ta có:

$B=(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$

$\Rightarrow A=(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)$

b) Theo kết quả trên, ta có:

$n^3(n^2-7)^2-36n=n(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Ta viết lại đưới dạng :$(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7(đpcm).

Ở phần chữ đỏ bạn có nói là "tích trong đó có $n$ thừa số 2".Vậy sao các số trong dấu ngoặc vuông lại không có thừa số 2 vậy ?

Bởi vì biểu thức trong dấu ngoặc vuông đó là tích của các số lẻ liên tiếp nên không chứa thừa số 2 nào !