songuku

Bài 18: Cho tập A = {1,2,3...,2016}. Hỏi lấy ra nhiều nhất bao nhiêu phần tử từ tập A để trong những phần tử lấy ra không có phần tử nào bằng tích của hai phần tử còn lại

Đề xuất tạm 1 bài  : 1 bảng n x n được đánh số từ 1 đến $n^{2}$.CMR có ít nhất 2 ô cạnh nhau khác nhau ít nhất n đơn vị.

Từ ô chứa 1 đến ô chứa n^2 có nhiều nhất là 2n -1 ô. Mà hiệu của 1 và n^2 là n^2-1 theo Drichlet có 2 ô kề nhau có hiệu 2 lớn bằng n? 

Bài toán 9:
Với mỗi số thực $\alpha$ khác $1$ thì ta định nghĩa tập $S(\alpha) = ([na] | n \in Z)$ . Chứng minh tập $N$ không chia thành hợp của ba tập dạng trên được.

Bài 9 là bài putnam 1995

@Ego: Đề nghị bạn và các bạn sau này nữa, đừng quote cả bài viết, rất khó nhìn

Bài toán 4 là bài thi của Bulgari năm 1983

 

 

Để chứng minh $c=a+b$ thì có lẽ đơn giản hơn nhiều!
Ta có: $[na]+[nb]=[nc]\Rightarrow n(a+b)-\left \{ na \right \}-\left \{ nb \right \}=nc-\left \{ nc \right \}\Rightarrow \left \{ nc \right \}-\left \{ na \right \}-\left \{ nb \right \}=n(c-a-b)$
Giả sử $c\neq a+b$. Do $1>\left \{ nc \right \}-\left \{ na \right \}-\left \{ nb \right \}>-2$ mà $a,b,c$ cố định nên chọn $n$ đủ lớn ta suy ra $\left | n(c-a-b) \right |>\left | \left \{ nc \right \}-\left \{ nb \right \}-\left \{ na \right \} \right |$ (mâu thuẫn) $\Rightarrow c=a+b$
Chỗ này chắc không ổn lắm, làm sao kết luận luôn $\left \{ x \right \}=\left \{ y \right \}=0$ được nhỉ?
Theo mình đây mới là điểm khó của bài toán.

Để xử lí việc này. ta có thể gải sử a,b thuộc [0,1). sau đó giả sử a và b khác 0, xét 2 trường hợp : trường hợp 1: là a và b hữu tỉ suy ra mâu thuẫn, trường hợp 2 : xét a hoặc b vô tỷ ( đây là việc khó nhất trong bài) cũng suy ra mâu thuẫn.

 

 

Vấn đề chính là nằm ở chỗ $a$ và $b$ cùng là số vô tỉ đó bạn, chỗ này mình không làm được

Không cần xét cả a và b vô tỉ, nếu cả a và b vô tỉ thì coi như chỉ có a vô tỉ. ok