Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


cristianoronaldo

Đăng ký: 02-05-2016
Offline Đăng nhập: 26-03-2019 - 20:23
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $$\sqrt[3]{abc} \le M \le \frac...

08-07-2018 - 17:52

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

Ta có:

$$\sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{[\sum a^2b^2+2\alpha abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}$$

$\geqslant \sqrt[6]{\frac{\left ( 1+2\alpha  \right )abc\left ( \sum a \right )\left ( 1+2\beta  \right )\sum ab}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{abc\sum a\sum bc}{9}}\geqslant \sqrt[3]{abc}$

Mặt khác, ta có:

$[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)\leqslant \left [ 1+2\left ( \alpha -1 \right )\frac{\left ( \sum ab \right )^2}{3} \right ]\left [ \left ( \sum a \right )^2+2\left ( \beta -1 \right ) \right ]$

$\leqslant \frac{1}{9}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^2\leq \frac{1}{81}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^6$

$\Rightarrow \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.


Trong chủ đề: Cmr $\sum \frac{x^2}{2z^3+y}\geqs...

12-03-2018 - 19:54

Bài mình là hoán vị vòng quanh, khác bài đó mà bạn


Trong chủ đề: TOPIC thảo luận, trao đổi toán thi học sinh giỏi khối 10,11 .

30-11-2017 - 20:54

Bài 27:( cristianoronaldo )

Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=4$. 

Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\dfrac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\dfrac{4}{1+\sqrt[4]{abcd}}$


Trong chủ đề: TOPIC thảo luận, trao đổi toán thi học sinh giỏi khối 10,11 .

14-11-2017 - 20:22

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR : 

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

$\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^5\left ( \frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{3} \right )^3\geq \left ( \frac{\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}}{3} \right )^8$

Như vậy, ta cần chứng minh:

$\left ( \frac{\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}}{3} \right )^{\frac{8}{3}}\geq \frac{ab+bc+ca}{3}$

Do tính thuần nhất nên ta chuẩn hóa $\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}=3$.

Ta cần chứng minh: $ab+bc+ca\leq 3$

Đặt $x=\sqrt[4]{a^3},y=\sqrt[4]{b^3},z=\sqrt[4]{c^3}$. Khi đó $x+y+z=3$ và cần chứng minh:

$(xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}}\leq 3$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có;

$(xy)^{\frac{4}{3}}+(yz)^{\frac{4}{3}}+(zx)^{\frac{4}{3}}\leq \frac{xy(x+y+1)+yz(y+z+1)+zx(z+x+1)}{3}=\frac{4(xy+yz+zx)-3xyz}{3}$

Mà theo bất đẳng thức Schur thì:

$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$$\Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)-3xyz\leq 9$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$.

$\Rightarrow \blacksquare$


Trong chủ đề: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\ge...

12-11-2017 - 19:36

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn $x\geq y\geq z>0$. Chứng minh rằng :

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq(x^2+y^2+z^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\left ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \right )\left ( \frac{zx^2}{y}+\frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x} \right )\geqslant \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2$

Như vậy ta cần chứng minh:

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geqslant \frac{xy^2}{z}+\frac{yz^2}{x}+\frac{zx^2}{y}$

$\Leftrightarrow \frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geqslant 0$

Đúng vì $x\geqslant y\geqslant z> 0$ .

$\blacksquare$

P/S:$\blacklozenge$Đây là bất đẳng thức VMO 1991

       $\blacklozenge$Bất đẳng thức trên cũng đúng với điều kiện x,y,z là độ dài ba cạnh tam giác