Nguyenngoctu

Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm EF; BI cắt (O) tại K, AD cắt (O) tại A'. Chứng minh rằng A', K, E là ba điểm thẳng hàng.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm EF, P là hình chiếu của H trên AO. PI cắt (O) tại điểm Q. Chứng minh rằng QH đi qua trung điểm của BC.

Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK vuông góc với AD.

Chứng minh rằng tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n!

Cho x, y, z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$M = \frac{{3{x^4} + 4{y^3} + 16{z^3} + 1}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3}}}$$

CMR: Với mội số thực a,b,c dương ta có

$\frac{1}{a^{3}(b+c)(c+a)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)(a+b)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)(b+c)}\geq \frac{3}{4}$

a, b, c càng lớn thì sai. Chẳng hạn a=b=c=2 thì sai.

Sao lỗi phông chữ thế nhỉ?

Mình đã hiểu ý của bạn. Do $3^{2n}\equiv1\left ( mod8 \right ); 3^{2n+1}\equiv3\left ( mod8 \right ); 2003\equiv 3(mod8)$

Nên $3^{2n}+2003\equiv 4 (mod8); 3^{2n+1}+2003\equiv 6 (mod8)$

Suy ra điều phải chứng minh.

Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào bằng 0. Chứng minh rằng $\sqrt {\frac{{{a^2} + bc}}{{{b^2} + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + ca}}{{{c^2} + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^2} + ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \ge 2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Cho $x, y, z>0$ thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$. CMR $\sqrt{x}+ \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq \frac{3}{2} \sqrt{xyz}$

Tham khảo ở đây: 

Bạn hiểu toán được đến đâu mà bảo là hiểu là hiểu. Có cái tưởng là hiểu mà mãi sau này mới hiểu. " Có lẽ" bạn hơi tự tin quá đấy. Thôi nhé!

$$\frac{1}{{{a^k} + 2{b^k} + 6}} + \frac{1}{{{b^k} + 2{c^k} + 6}} + \frac{1}{{{c^k} + 2{a^k} + 6}} \le \frac{1}{3}$$  ?????

Bài 43 (Romanian JBMO TST). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geqslant 1.$ Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6} \le \dfrac{1}{3}.$$
 

Ta có $$\sum {\frac{1}{{{a^3} + 2{b^3} + 6}}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sum {\frac{{{a^3} + 2{b^3}}}{{{a^3} + 2{b^3} + 6}}} \ge 1$$

Ta chỉ cần chứng minh $$\sum {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + 2{b^2} + 6}}} \ge 1$$ là xong!

Ta có $$\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2} + 6}}} \ge \frac{{{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{3\sum {{a^2}} + 18}} = \frac{{\sum {{a^2}} + 2\sum {ab} }}{{3\sum {{a^2}} + 18}} \ge \frac{1}{3}$$ đúng do $$\sum {ab} \ge 3$$.

Tương tự $$\sum {\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + 2{b^2} + 6}}} \ge \frac{2}{3}$$. Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh. 

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1)\ge 2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

Bài này của Vasile Cirtoaje, có trong "Old and new", bạn tìm mà đọc.

Cho a,b,c $\geq$ 0, a+b+c=1.

CMR: $0 \leq ab+ac+bc -2abc \leq \frac{7}{27}$

Cách đơn giản nhất của bài này là chứng minh bằng phương pháp look at the end point!

Ta có \[ab + bc + ca - 2abc \le \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0\]

Xét hàm số \[f\left( a \right) = a\left( {2bc - b - c} \right) - bc + \frac{7}{{27}} \ge 0,\,\,a \in \left[ {0;1} \right]\] f(a) là hàm số bậc nhất nên ta chỉ cần chỉ ra f(0) và f(1) lớn hơn hoặc bằng 0 trên đoạn [0;1] là đủ.

Ta có \[f\left( 0 \right) = - bc + \frac{7}{{27}} \ge - \frac{1}{4} + \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 0 \Rightarrow 1 = b + c \ge 2\sqrt {bc} \Rightarrow - bc \ge - \frac{1}{4}\]

\[f\left( 1 \right) = \frac{7}{{27}} > 0\] vì \[a = 1 \Rightarrow b = c = 0\] Xong!