Nguyenngoctu

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, AH là đường cao của tam giác ABC. (O) tiếp xúc với BC tại điểm T, M là trung điểm AH, MT cắt (O) tại điểm P. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP. Chứng minh rằng (O) và (I) tiếp xúc với nhau.

Cho hình vuông ABCD. E là điểm thuộc cạnh CD. Đường phân giác góc BAE cắt đoạn BC tại điểm F. Trên tia BF lấy điểm G sao cho FG=2DE. Gọi O là trung điểm FG. Từ B kẻ hai tiếp tuyến BH, BK tới đường tròn (O), H nằm ở miền trong của hình vuông ABCD (với (O) là đường tròn tâm O, bán kính OF).

a) Chứng minh rằng ABH là tam giác cân.

b) Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AH tại điểm X. Chứng minh rằng AF vuông góc với BX.

Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp trong đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. K là điểm đối xứng với B qua E. BE cắt (O) tại điểm H'. DH' cắt FK tại M. Chứng minh rằng AM vuông góc với CM.

Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm EF; BI cắt (O) tại K, AD cắt (O) tại A'. Chứng minh rằng A', K, E là ba điểm thẳng hàng.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm EF, P là hình chiếu của H trên AO. PI cắt (O) tại điểm Q. Chứng minh rằng QH đi qua trung điểm của BC.